Звукови вълни, 9 клас, задача

[Гост]

Посетител на Големия каньон в САЩ пуска камък да пада свободно от ръба на каньона. След 18s той чува звука от падането на камъка. Намерете височината на каньона.

Предполагам е елементарна, но не мога да получа крайния резултат, който е 1080m. :s

[Добромир Глухаров]

[tex]c=340 m/s[/tex] - скоростта на звука.

[tex]t_1[/tex] - време на падане; [tex]t_2[/tex] - време за връщане на звука.

[tex]t_1+t_2=18[/tex]
[tex]H=c.t_2=\frac{1}{2}g.t_1^2=x[/tex]
[tex]t_1=18-t_2=18-\frac{x}{c}[/tex]
[tex]\frac{1}{2}g\(18-\frac{x}{c}\)^2=x[/tex]
[tex]\(18-\frac{x}{c}\)^2=\frac{2x}{g}[/tex]
[tex]18^2-36\frac{x}{c}+\frac{x^2}{c^2}=\frac{2x}{g}\ |.gc^2[/tex]
[tex]18^2gc^2-36gcx+gx^2=2xc^2[/tex]
[tex]gx^2-(36gc+2c^2)x+18^2gc^2=0\ |:g[/tex]
[tex]x^2-2\(18c+\frac{c^2}{g}\)x+(18c)^2=0[/tex]
[tex]D_1=c^2\(18+\frac{c}{g}\)^2-18^2.c^2=c^2\[\(18+\frac{c}{g}\)^2-18^2\]=c^2\(18+\frac{c}{g}+18\)\(18+\frac{c}{g}-18\)[/tex]
[tex]D_1=c^2\frac{c}{g}\(36+\frac{c}{g}\)[/tex]
[tex]x_{1,2}=18c+\frac{c^2}{g}\pm c\sqrt{\frac{c}{g}\(36+\frac{c}{g}\)}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{c}{g}\(18g+c\pm \sqrt{c(36g+c)}\)[/tex]
[tex]c=340;\ g=9,8[/tex]
[tex]x_{1,2}=34,7.(516,4\pm\sqrt{235552})=34,7.(516,4\pm 485,3)[/tex]
[tex]x_1=34\ 759;\ x_2=1\ 079[/tex]
Проверка: [tex]H=x_1=34\ 759;\ t_2=\frac{H}{c}=102,232;\ t_1=\sqrt{2H}{g}=84,224;\ t=t_1+t_2=186,456\neq 18[/tex]
[tex]x_1[/tex] не е решение.
[tex]H=x_2=1\ 079;\ t_2=\frac{H}{c}=3,174;\ t_1=\sqrt{2H}{g}=14,839;\ t=t_1+t_2=18,013 \approx 18[/tex]
[tex]x_2[/tex] е решение.

Окончателно: [tex]H=1079\ m[/tex]

[pipi langstrump]

Означавамe
h-височината на пропастта
c-скоростта на звука
t1-времето за падане на камъка
t2- времето за което звука от падането достига до човека
t-времето между момента на хвърлянето и момента на чуване на звука (18s)

Имаме
h = [tex]\frac{g{t_{1}}^{2}}{2} =\frac{g(t-t_{2})^{2}}{2}=\frac{g(t-\frac{h}{c})^{2}}{2}[/tex]

Решаваме това квадратно уравнение за h и получаваме отговора.

Предлагам две задачки:
1. Нека часовника да мери с точност [tex]\Delta t[/tex]. Задача: до каква височина на пропастта можем да не взимаме предвид времето, за което звука пътува до човека?

2. На такава голяма височина няма да можем да пренебрегнем въздушното съпротивление. Задача: нека камъка представлява хомогенно кълбо c плътност [tex]\rho[/tex]. Да се намери радиуса на кълбото така, че камъка да падне за екстремално време (maximalno ili minimalno), ako има такова, разбира се.