Откъсване от полусфера

[pipi langstrump]

[grav]

Закона за запазване на енергията и импулса дават съответно
[tex]\frac12m(v_x^2+v_y^2)+\frac12MV_x^2=mgR(1-\cos(\theta))[/tex]
и
[tex]mv_x=-MV_x[/tex]
В системата, в която сферата е неподвижна, имаме
[tex]v'_x=v_x+V_x[/tex], [tex]v'_y=v_y[/tex] и [tex]x'^2+y'^2=R^2[/tex]
Диференцираме последното, заместваме и получаваме
[tex]2R\sin(\theta)v'_x+2R\cos(\theta)v_y=0[/tex]
Откъдето
[tex]v_y=-v_x(1-\frac mM)\tan(\theta)[/tex]
Заместваме изразите за [tex]v_y[/tex] и [tex]V_x[/tex] в първото уравнение и решаваме относно [tex]v^2_x[/tex].

[tex]v_x^2=\frac{2mgR(1-\cos(\theta)}{m(1+(1-\frac mM)^2\tan^2(\theta))+\frac{m^2}M}[/tex]
Точката тръгва от покой, вертикалната компонента на скороста се увеличава докато стигне земята, хоризонталната компонента се увеличава докато се откъсне от сферата. С други думи трябва да намерим за коя стойност на ъгъла горната функция има максимум.

[pipi langstrump]

С други думи трябва да намерим за коя стойност на ъгъла горната функция има максимум.

Ако е растяща няма как да има максимум. Просто на едно място ще се прекъсне.

П.П. Или по-точно - няма да се прекъсне, а ще се оръби.

[grav]

Фунцията имам максимум, тя е растяща до едно място, после е намаляваща, но само докато е разстяща т.е. точката е все още върху сферата, тя описва скороста.

[L.e.o]

Задачата е много хубава, но явно вече не ми се отдават тези задачи.
Идеята ми е:
Имаме N, нормал реакция на упората, радиално към центъра на полусферата.
Под ъгъл θ, N = mg / cosθ - P
P e някаква сила, обратна по посока на N, породена на движението на полусферата в обратата посока.
При някакъв градус θ, N=0, тоест топчето се е отделило от полусферата.
Тоест уравнението:
mg/cosθ - P = 0
ще даде решение.

[pipi langstrump]

Фунцията имам максимум, тя е растяща до едно място, после е намаляваща, но само докато е разстяща т.е. точката е все още върху сферата, тя описва скороста.

Кога е намаляваща?
Функцията (може да) расте, докато топчето е на сферата.
Като се откъсне става константа и се оръбва.

[grav]

Става дума за функцията от дясната страна на последното равенство. Връската със скороста е валидна само докато точката е върху сферата, но самата функция, израза от дясно, е дефинирана за [tex]\theta\in [0,\frac\pi2)[/tex].

[pipi langstrump]

Става дума за функцията от дясната страна на последното равенство. Връската със скороста е валидна само докато точката е върху сферата, но самата функция, израза от дясно, е дефинирана за [tex]\theta\in [0,\frac\pi2)[/tex].

Именно. Не можем да я изразим с една функция в целия интервал.
До момента на откъсването функцията ще е една, после друга и там където двете графики се сливат навярно ще боцка.

[grav]

Именно, формулата по-горе е валидна за всеки момент, за който точката е върху сферата. За да намерим кога точката се оделя от сферата намираме максимума на тази фунция, защото за по-големи ъгли, от този който дава максимума, фунцията ще започне да намалява, а скороста не може да намалява. За това тази критична стойност е търсената.

[pipi langstrump]

Именно, формулата по-горе е валидна за всеки момент, за който точката е върху сферата. За да намерим кога точката се оделя от сферата намираме максимума на тази фунция, защото за по-големи ъгли, от този който дава максимума, фунцията ще започне да намалява, а скороста не може да намалява. За това тази критична стойност е търсената.

Сори, не те разбирам.
Откъде съдиш, че максимума на функцията, която си намерил, ако изобщо съществува такъв, трябва да е точно там, където се откъсва топчето, а не например някъде след тоя ъгъл, където вече функцията не важи?
И откъде си сигурен, че скоростта не може да намалява? Нали това е скоростта спрямо нас, а не спрямо сферата, а сферата се движи назад с топчето върху нея, което се движи напред.
Условието за откъсване на топчето е онова, което л.е.о е написал - нормалната реакция да стане нула.

[grav]

Откъде съдиш, че максимума на функцията, която си намерил, ако изобщо съществува такъв, трябва да е точно там, където се откъсва топчето, а не например някъде след тоя ъгъл, където вече функцията не важи?

Чисто физически съображения, може и да греша естествено.

И откъде си сигурен, че скоростта не може да намалява? Нали това е скоростта спрямо нас, а не спрямо сферата, а сферата се движи назад с топчето върху нея, което се движи напред.

Имах предвид, че след като се отдели топчето хоризонталнта компонента на скороста ще е постоянна, защото няма хоризонтални сили т.е. хоризонталното ускорение ще е нула.

Условието за откъсване на топчето е онова, което л.е.о е написал - нормалната реакция да стане нула.

Разбира се, аз мислех, че така ще е по-трудно, но естествено, че може и така. Разгледай всичко в системата, в която сферата е неподвижна, нормалните сили са центорбежната, която се пресмята директно от скорста, и конпонента на силата на тежаста. Условието за отделяне е те да са равни.

[pipi langstrump]

edit

[grav]

Докато топчето е върху сферата му действа сила, чиято хоризонтална компонента не е нула и не си мени посоката, следователно докато топчето е върху сферата ще търпи ускорение, което не си мени посоката, т.е. хоризонталната компонента на скороста ще се увеличава. След като се отдели от сферата, ще продължи да се д вижи с постояна хоризонтална скорост. Не знам какво не е ясно.

[pipi langstrump]

Докато топчето е върху сферата му действа сила, чиято хоризонтална компонента не е нула и не си мени посоката, следователно докато топчето е върху сферата ще търпи ускорение, което не си мени посоката, т.е. хоризонталната компонента на скороста ще се увеличава. След като се отдели от сферата, ще продължи да се д вижи с постояна хоризонтална скорост. Не знам какво не е ясно.

Ясно е, да.
Мисля, че не грешиш за максимума, но не мога да го докажа строго.
Една идея, която имам за нещо като доказателство е следната: Нека топчето се движи в затворен канал, вместо по повърхността. Тогава след мястото на откъсване то ще почне да се плъзга по горната стена на канала и скоростта му ще е намаляваща. Ние намираме някакъв израз за v_x, който сме съставили, като взимаме предвид, че топчето се движи по дъга от окръжност (спрямо сферата) и законите за запазване, т.е. тоя израз ще описва v_x в целия интервал [0;pi/2] и това е.

[L.e.o]

(nqmam kirilica tuk)
Top4eto natiska polusferata v obratnata posokosa sys sila mg.tgα.
Ot tova natiskane sistemata top4e+polusfera 6te tyrpi uskorenie v posoka obaratna na dvijenie na top4eto:
mg tgα = (m+M). a => a = mg.tgα / m+M
No ot gledna to4ka na top4eto, tova uskorenie deistva na nego po posoka na negovoto dvijenie. (uskorenieto koeto kara polusferata da bqga nazad, deistva na top4eto vse edno se opitva da go otlepi)
Toest, v radialna posoka imame silite:
N + m.mg.tgα.sinα / m+M = mg.cosα
N=0 pri:
[tex]tg \alpha = \sqrt{\frac{m+M}{m} }[/tex]
(pri M=∞, ili zastoporena polusfera, α=90, toest top4eto NE se otlepq)
(ako v 4islitelq lipsva6e m, 6tqh da sym mnogo dovolen ot otgovora, za6toto mislq, 4e pri drugiq grani4en slu4ai M=0, α trqbva da e 0)

[grav]

Барон Мюнхаузен? Топче натиска сферата с дадена сила, от което двете получават ускорение!

[L.e.o]

Vse si mislq, 4e dokato top4eto ne se otlepi ot polusferata, trqbva da se razglejdat zaedno.
I 2te polu4avat uskorenie, da, no ne EDNAKVO. Pri Baron-a nqma6 vy6na namesa/energiq , dokato tuk imame na4alna potencialna energiq na top4eto.

No ako, ne, to krainiq otgovor bi bil: tg a = sqrt (M/m), koeto 6te udovletvorqva i 2ta grani4niq slu4aq.

[grav]

Ами погледни какво си написал, че топчето натиска полусферата с дадена сила. След това казваш, че под действието на тази сила системата сфера+топче търпи ускорение. Точно като при барон Мюнхаузен.

[L.e.o]

Няма никаква връзка с Барона.
Нека разлгедаме подобна задача, само че вместо полусфера да имаме клин с много малка маса (~0) спрямо топчето.
Спрямо клина, топчето ще има yскорения ау и ах. Но тъй като клина е много лек топчето ще избутва клина а другата посока със същото ускорение. Така за външен наблюдател, топчето ще има ускорение по х равно на нула (закона за запазване на импулса по Х е спазен).
При Барона началната потенциална енергия е 0. Тук не е! И да ... системата се движи в едната посока, а топчето в другата заради ЗЗИ.

[grav]

L.e.o., не разбирам за какво спориш, погледни си поста по-горе и това към което отправям забележка. Топчето не може да придаде ускорение на системата, от която то е част, точка по въпроса, а точно това си написал по-горе.