Инерционен момент на фрактал

[pipi langstrump]

[grav]

Идеята ми е следната. Момента на триъгълника се изразява чрез моментите на трите подтриъгълника, които са същите като оригиналния, но със страна два пъти по-малка. Оста, спрямо която пресмятаме моментите на малките триъгълници, не минава през центровете им, но с помоща на стандартната формула за връзката между моменти спрямо успоредни оси, може да се изрази чрез моментите на малките триъгълници спрямо оси минаващи през центровете им. Така се получава следната рекурентна връзка.

[tex]I_l=3I_{\frac l2}+\frac{ml^2}{12}[/tex]

От където

[tex]I_l=\frac{ml^2}3[/tex]

но това не може да е вярно, защото момента на триъгълника, при който всичката маса е концентриран върху върхвете е точно толкова, а тръсения очеведно е строго по-малък. Също така, търсения е очевидно по-голям от момента на триъгълник с равномерно разпределена маса т.е. имаме строгите неравенства

[tex]\frac{ml^2}{12}<I_l<\frac{ml^2}3[/tex]

Въпроса ми е дали бъркам в "бакалските" сметки или подхода ми има принципна грешка?

[pipi langstrump]

Взимаш ли предвид, че и m зависи от l?

[grav]

Взимаш ли предвид, че и m зависи от l?

Да, за триъгълник със страна l/2 масата е 3 пъти по-малка, с m съм означил масата на дадения триъгълник (както пиша триъгълник, имам предвид съответния фрактал).

[pipi langstrump]

Значи за това

[tex]I_l=3I_{\frac l2}+\frac{ml^2}{12}[/tex]

От където

[tex]I_l=\frac{ml^2}3[/tex]

[tex]I_l[/tex] доколкото разбирам е момента на първия фрактал (този, на който му липсва само едни триъгълник), а [tex]I_{\frac l2}[/tex] е момента на един от плътните триъгълници със страна l/2 спрямо ценътъра му, така ли е? А m e масата на фрактала? Така ли е, или нещо се бъркам?

[pipi langstrump]

Значи и аз я получих тая връзка [tex]I_l=3I_{\frac l2}+\frac{ml^2}{12}[/tex], но не можем да правим рекурсия с нея, защото зависимостта се изменя при всяка "фрактализация".
ако не се бъркам, де-

[grav]

Не, имах пред вид, че [tex]I_l[/tex] е момента на крайния фрактал т.е. на този на който му липсват всичките триъгълници, с дължина на първоначалния триъгълник l, а [tex]I_{l/2}/[tex] е момента на една трета от този фрактал т.е. подобен на него но два пъти по-малък.

[pipi langstrump]

Да, сетих се, че това си имал предвид, но вече беше късно и не можах да си променя мнението.
Само че в тая връзка трябва да вземе предвид, че масата на n-тия фрактал е 1/3 от таи на n-1 - ия, а държината - 1/2.

Трябва да е така
[tex]I_1 = 3I_2 + \frac{m}{3}{(\frac{l}{2})}^2[/tex]
[tex]I_2 = 3I_3 + \frac{m}{3^2}{(\frac{l}{2^2})}^2[/tex]
...
[tex]I_n = 3I_n-1 + \frac{m}{3^n}{(\frac{l}{2^n})}^2[/tex]
spored mene

[ammornil]

Инерционният момент след премахване на първия триъгълник не е ли:

[tex]I_{_{1}}=3.\frac{m}{6}.\frac{3.l^2}{64}[/tex]?

Разстоянието между центъра на тежестта на един останал триъгълник и оста на въртене е: [tex]\frac{\sqrt{3}.l}{8}[/tex].

[ammornil]

Взимаш ли предвид, че и m зависи от l?

В случая m не зависи от l, а само от броя на деленията и изходната маса. Изначалното тяло е хомогенно, деленията са на равни части...

[grav]

Мисля, че си намерих грешката, в решаването на връзката [tex]I_l=3I_{\frac l2}+\frac{ml^2}{12}[/tex] съм бъркал. Връзката между [tex]I_l[/tex] и [tex]I_{\frac l2}[/tex] е 12, маста намалява 3 пъти, страната 2, и след като зависи от квадрата на линейния размер, намаляване на страната 2 пъти ще намали момента 4 пъти, и така 12, т.е [tex]I_l=12I_{\frac l2}[/tex]. След заместване и решаване се получава [tex]I_l=\frac{ml^2}9[/tex], което е в очаквания интервал.

[pipi langstrump]

Мисля, че си намерих грешката, в решаването на връзката [tex]I_l=3I_{\frac l2}+\frac{ml^2}{12}[/tex] съм бъркал. Връзката между [tex]I_l[/tex] и [tex]I_{\frac l2}[/tex] е 12, маста намалява 3 пъти, страната 2, и след като зависи от квадрата на линейния размер, намаляване на страната 2 пъти ще намали момента 4 пъти, и така 12, т.е [tex]I_l=12I_{\frac l2}[/tex]. След заместване и решаване се получава [tex]I_l=\frac{ml^2}9[/tex], което е в очаквания интервал.

Толкова е

[grav]

Бях изтървал една трета от разликата в масата, както предположи по-горе.

п.п. Даваш много и интересни задачи, но някои от тях си остават без никакъв коментар. Пиши какъв е подхода или някакво напътствие.

[pipi langstrump]

Бих дал, когато имам, но трябва да поиска някой, иначе решавам автоматично, че няма интерес към съответната задача.

[grav]

Бих дал, когато имам, но трябва да поиска някой, иначе решавам автоматично, че няма интерес към съответната задача.

Аз имам интерес към повечето, но когато нямам никаква идея за решение, не пиша за да не разводнявам темат, чакам някой да каже нещо.

[pipi langstrump]

Ок, но няма да може на всички (поне в близко време)