Три тела

[ferry2]

Три материални точки с равни маси [tex]M[/tex] образуват равностранен триъгълник със страна [tex]a[/tex]. В началния момент те са неподвижни. Намерете след колко време ще се сблъскат телата, след като се освободят.

[naitsirk]

Намери силите с които 2-те точки дейтват на 3-тата и постави точка с фиктивна маса в центъра на тръгълника. Приложи третия закон на Кеплер и си готов

[ferry2]

Намерих задачата в един друг форум, където не беше решена и ми се стори интересна, затова я пуснах . Аз не мога да я реша, но би ми било интересно да видя пълното решение, затова би ли го написал?

[martin.nikolov]

Най-вероятно съм сбъркал някъде в сметките, защото го решавам чрез груба сила. Получавам ето това

[tex]\frac{2\sqrt{3}a\sqrt{a}}{9\sqrt{2M}}[/tex]

[mkmarinov]

Трите точки не се ли движат по права линия към центъра на триъгълника?

[martin.nikolov]

Трите точки не се ли движат по права линия към центъра на триъгълника?

Да, разбира се.

[kerry]

Дали времето до сблъсъка ще бъде същото ако имаме две тела с маси M и 2M, отдалечени едно от друго в началния момент на разстояние [tex]\frac{a \sqrt{3}}{2}[/tex]?
По-лекото ще измине 2/3, а по-тежкото 1/3 от цялото разстояние.

Означавам разстоянието между двете тела с r(t)

За силата, която действа на по-лекото тяло мога да запиша

[tex]F=Ma_1=M \left(-\frac{2}{3}. \frac{d^2 r(t)}{t^2} \right) = \gamma \frac{2M^2}{r^2(t)}[/tex]

За изменението на разстоянието между двете тела във времето се получава диференциалното уравнение

[tex]r^2 . \frac{d^2r}{dt^2} = -3M \gamma[/tex] с начални условия [tex]r(0) = \frac{a \sqrt{3}}{2}[/tex] и [tex]\lim_{t \rightarrow 0} \left(\frac{dr(t)}{dt} \right)
= 0[/tex]

Ако някой успее да реши това уравнение от вида [tex]y^2 .y'' = C[/tex] и получи функцията r(t) ще остане само да намерим при коя стойност на аргумента t тя се нулира.

[naitsirk]

Според мен ето това е идеята:
Винаги когато имаме планети и времена се сещаме за Законите ка Кеплер или по специално третия му закон, който гласи, че когато едно тяло обикаля около друго под въздействие на гравитационна сила е изпълнено: [tex]\frac{T^2}{a_{1}^3 }=\frac{4\pi ^2}{\gamma m }[/tex],където [tex]T[/tex] е периодът на обикалянето, [tex]a_{1}[/tex] е голямата полуос на елипсата (в общия сличай), [tex]\gamma[/tex] е гравитационната константа, [tex]m[/tex] е масата на тялото/планетата около което/която обикаля другото тяло.
Случаят, тук, е малко по-различен, но с малък трик можем да го сведем към нещо познато. Първото нещо което ще използваме е, че правата е частен случай на елипса (елипса с малка полуос нула). В този случай горният закон отново важи. Сега от съображения за симетрия 3-те тела се движат към центъра на триъгълнка. Цела ни е да заменим 2 от телата с едно тяло в центъра на триъгълник и по този начин 3-тото тяло ще се движи по права към новото тяло и прилагайки горния закон ще намерим времето за "обикаляне", което е точно 2-но по-голямо от времето необходимо за свиване на триъгълника.
Сега ни остана да намерим каква трябва да бъде масата на новото тяло, така че нищо да не се примени, т.е. силите който действат на 3-тото тяло да останат същите. Лесно се намира, че началните 2 тела действат на 3-тото със сила [tex]F_{0}=\sqrt{3}\gamma \frac{m^2}{x^2 }[/tex], където [tex]x[/tex] е страната на триъгълника в произволен момент. В този същия момент разстоянието от 3-тото тяло до поставеното от нас тяло е [tex]\frac{x}{\sqrt{3} }[/tex] (равно е на радиуса на описаната окръжност около триъгълника). Тогава силата с която действа новото тяло на 3-тото тяло е [tex]F{1}=\gamma \frac{m_{x}m}{(\frac{x}{\sqrt{3} } )^2 }=\gamma \frac{3m_xm}{x^2 }[/tex], където [tex]m_x[/tex] е масата на новото тяло. Искаме да заменим 1-вите две тела с новто => трябва за произволен момент [tex]F_{0}=F_{1}[/tex] <=> [tex]\sqrt{3}\gamma \frac{m^2 }{x^2 }=3\gamma\frac{m_xm}{x^2 }[/tex] и намираме [tex]m_x=\frac{m}{\sqrt{3} }[/tex].
Имайки предвид, че голямата полуос на елипсата е половината от разстоянието от връх на триъгълника до неговия център в началния момент намираме [tex]a_{1}=\frac{a}{2\sqrt{3} }[/tex]. Остана да заместим в третия закон на Кеплер и намираме: [tex]T=2\pi \sqrt{\frac{a_1^3}{\gamma m_x } }=2\pi \sqrt{\frac{a}{24\gamma m } }[/tex] => времето за събиране на троъгълника е: [tex]t=\frac{T}{2 }=\pi \sqrt{\frac{a}{24\gamma m } }[/tex].