Работа

[Гост]

Частица се движи в равнината спрямо законите [tex]x=64\sqrt{3}t[/tex], [tex]y=64t-16t^{2}[/tex] и й действа сила [tex]\vec{F}[/tex], която е пропорционална на скоростта й, но обратна на нейната посока. Каква е работата, извършена от [tex]\vec{F}[/tex], от [tex]t=0[/tex] до [tex]t=4[/tex]?

[Добромир Глухаров]

$\vec{F}_t=-\vec{v}=-(\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j})$

$A=\int_0^4\vec{F}_td\vec{r}=\int_0^4\vec{F}_t\vec{v}dt$

$\vec{F}.\vec{v}=-(\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}).(\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j})=-(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$

$\dot{x}=64\sqrt{3}=2^6\sqrt{3}$
$\dot{y}=64-32t=2^5(2-t)$

$A=\int_0^4-(\dot{x}^2+\dot{y}^2)dt=-\int_0^4(2^{12}.3+2^{10}(2-t)^2)dt$

$A=-2^{10}\int_0^4(2^2.3+(2-t)^2)dt=-1024\int_0^4(12+4-4t+t^2)dt=-1024\int_0^4(t^2-4t+16)dt=$

$=-1024\left(\frac{t^3}{3}|_0^4-4\cdot\frac{t^2}{2}|_0^4+16t|_0^4\right)=-1024\left(\frac{64}{3}-32+64\right)=$

$=-2^{10+5}\left(\frac{2}{3}-1+2\right)=-32\ 768\cdot\frac{5}{3}=-\frac{163\ 840}{3}$

[vezni]

$\vec{F}_t=-\vec{v}=-(\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j})$

Не следва ли, че [tex]\vec{F}=-k\vec{v}[/tex] за някое [tex]k>0[/tex]? Защо [tex]k=1[/tex]? Имам чувството, че тази задача е нерешима.

[Добромир Глухаров]

$\vec{F}_t=-\vec{v}=-(\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j})$

Не следва ли, че [tex]\vec{F}=-k\vec{v}[/tex] за някое [tex]k>0[/tex]? Защо [tex]k=1[/tex]? Имам чувството, че тази задача е нерешима.

Ами да - точно това следва - моя грешка. И решението ще бъде $\vec{F}=-k\vec{v};k>0\Rightarrow A=-\frac{163\ 840}{3}k<0$