Крива

[Гост]

Частица с определена маса се движи надолу по крива в равнината, започвайки от (0,0). Какво е уравнението на кривата, по която трябва да се движи, за да достигне до правата х=b>0 възможно най-бързо?

[Добромир Глухаров]

Брахистохрона

Само дето условието на задачата е малко по-различно. Но пак е от Вариационното смятане и може да се реши, като се намери минимум на функционал. Аз обаче не се наемам .

[peyo]

Брахистохрона

Само дето условието на задачата е малко по-различно. Но пак е от Вариационното смятане и може да се реши, като се намери минимум на функционал. Аз обаче не се наемам .

Много интересно! Докато проблема не е точно същият, стъпвайки на него можем да намерим каква е кривата която е решение на нашата задача.

След като решението на задачата за Брахистохроната е циклоида, то решението на нашата задача е също циклоида. Доказателството е следното. Да разгледаме чертежа:

brah2(2).png (407.18 KiB) Прегледано 1170 пъти

Търсената от нас крива ще пресече правата b в някаква точка може би някоя като A,B,C ... не знаем къде точно, но знаем, че такава точка съществува. Тогава каква е кривата която стига за най-бързо време от т. O до т, X? Това вече е задачата за Брахистохроната и отговора е циклоида - зеленната линия, с което доказахме и нашето твърдение.

Какви са конкретните параметри на циклоидата решение на задачата още нямаме отговор.

[peyo]

...
Какви са конкретните параметри на циклоидата решение на задачата още нямаме отговор.

Мисля, че вече имам отговор и на този въпрос. Да видим.

Вече доказахме, че най-бързата крива е циклоида от вида:

$x = k*(t-sin(t)$
$y = -k*(1-cos(t)$

Сега въпросът е как да изчислим $k$ по дадено $b$?

Първо да намерим t така, че x да стане $b$.За тази цел трябва да решим уравнението:

$b = k*(t-sin(t)$

Това уравнение не мисля, че има точно решение, затова ще използваме числови методи за намиране на отговора и тази стойност ще бележим със $t_b$.

Сега от всички възможни циклоиди трябва да намерим най-бързата. Оказа се доста трудно да намеря в Интернет решение на въпроса за колко точно време обекта се движи по дадена циклоида. Намерих само едно чудесно решение ето тук:

https://math.stackexchange.com/questions/1773362/calculating-the-time-of-a-brachistochrone

Първия отговор много убедително извежда формулата:

$T=\sqrt{\frac Ag}\theta_0.$

Или в нашия случай:

$T=\sqrt{\frac kg}t_b.$

Изключително полезна формула, която обаче не ни дава лесно точно решение. Съмнявам се дори, че има такова. Затова отново ще използваме числови методи да минимизираме стойността T и в резултат ще получим следните работни данни:

Код: Избери целия код

b   min_k  min_T         b/min_k
--------------------------------------
3.0 0.9549 0.98066917818 3.14169022934
3.5 1.1141 1.05924377569 3.14154923256
4.0 1.2732 1.13237922802 3.14169022934
4.5 1.4324 1.20106954637 3.14158056409
5.0 1.5915 1.26603846509 3.14169022934
5.5 1.7507 1.32783234415 3.14160050266

Стойностите в последната колона изглеждат много познати, защото приличат много на $\pi$. Затова и формулата по която ще изчислим k е:
$k = b/\pi$

В крайна сметка отговора на задачата придобива следния много удобен вид:

$x = \frac{b}{\pi}(t-sin(t)$
$y = -\frac{b}{\pi}(1-cos(t)$


Дали това е точното решение? Не мога да кажа със 100% сигурност, защото не съм го доказал. Изглежда добре за практически цели.

[Гост]

защо в уравнението за у има минус пред к?.

[pipi langstrump]

Тая задача се решава най-лесно с уравненията на Лагранж, едно време я бях решавал. Ако се сетя как ставаше ще напиша решението.

[Гост]

ami stupka po stupka

[Гост]

kolko e skorostta na chasticata po tursenata kriva y=y(x)?

[Гост]

po Pitagorova teorema [tex](ds) ^{2 }=(dx) ^{2 } +(dy) ^{2 } \Rightarrow ds= \sqrt{1+dy/dx}dx; v=ds/dt= \sqrt{1+(y') ^{2 } } dx/dt[/tex]
[tex]dt= \sqrt{1+(y') ^{2 } }dx/v[/tex], kato se integrira, se stiga do funkcionala:
kak se namira v na chastica pod deistvieto na G?
ako chasticata e na visochina y, ima potencialna energija mgy (tva e rabotata na G); na poda y=0 cjalata energija se e prevurnala v kinetichna [tex]mv^{2}[/tex]/2
[tex]\Rightarrow v= \sqrt{2gy}[/tex] znachi:
[tex]t= \int\limits_{0}^{b} \sqrt{1+(y') ^{2 } }/ \sqrt{2gy}dx[/tex]
znachi tursi se ekstremala y(x)[tex]\Rightarrow F_y- \frac{d}{dx}F_ {y' }=0; F= \sqrt{ \frac{1+(y') ^{2 } }{2gy} }[/tex]