Налягане,флуид и Архимед-Моля за помощ

[Гост]

Налягането очевидно е различно, защото височините са различни. Съшо действа атмосферно налягане, но не мога да разбера къде да вмъкна, че лицето на вратата е а*b?

[Добромир Глухаров]

Дано не греша, но ето какво мисля:

$p=p_{atm}+\rho gx;\ x\in[h;h+b]$

$dS=a.dx$

$F=\int pdS=\int_h^{h+b}(p_{atm}+\rho gx).a.dx$

$F=p_{atm}.a.b+\rho ga\frac{x^2}{2}|_h^{h+b}=p_{atm}.a.b+\frac{a\rho g}{2}((h+b)^2-h^2)=\\=p_{atm}.a.b+ab\rho gh+\frac{ab^2\rho g}{2}$

$F=1,01325.10^5.1.1,2+1.1,2.1000.9,81.8+1.1,2^2.1000.9,81/2=222\ 829,2\ N$

[Гост]

Дано не греша, но ето какво мисля:

$p=p_{atm}+\rho gx;\ x\in[h;h+b]$

$dS=a.dx$

$F=\int pdS=\int_h^{h+b}(p_{atm}+\rho gx).a.dx$

$F=p_{atm}.a.b+\rho ga\frac{x^2}{2}|_h^{h+b}=p_{atm}.a.b+\frac{a\rho g}{2}((h+b)^2-h^2)=\\=p_{atm}.a.b+ab\rho gh+\frac{ab^2\rho g}{2}$

$F=1,01325.10^5.1.1,2+1.1,2.1000.9,81.8+1.1,2^2.1000.9,81/2=222\ 829,2\ N$

Задачата е от училище, тъй че не разбирам много-много физичната роля на интегралите, макар че определеният интеграл обедини идеята, че налягането върху вратата ще е средната стойност на двете налягания. Ако може малко разяснения, ще е прекрасно. Иначе отговорът,който са ни дали е 101,1k N

[Добромир Глухаров]

$101,1 kN/m^2$ е атмосферното налягане. На определена дълбочина под водата налягането трябва да бъде по-голямо.

[Добромир Глухаров]

Видях си грешката. Всъщност на вратата действат две сили - 1) отвътре-навън действа атмосферното налягане на затворения в купето въздух $F_{отвътре-навън}=101\ 325.1,2=121\ 590 N$, 2) отвън-навътре действа сумата от атмосферното налягане над повърхността на водата и хидростатичното налягане на дадената дълбочина $F_{отвън-навътре}=222\ 829,2 N$

Резултатната сила е $F=F_{отвън-навътре}-F_{отвътре-навън}=222\ 829,2-121\ 590=101\ 239,2 N$

[Гост]

Благодаря много! Може ли малко обянение сега за изполването на интеграла?

[Добромир Глухаров]

Налягането по определение е сила на натиск върху единица площ: $p=\frac{F}{S}$. Понеже различните части на вратата се намират на различна дълбочина, върху тях налягането е различно. Затова разделяме площта на вратата на произволно много на брой елементарни площи $dS$. Върху всяка от тях натискът е $dF=pdS$, където $p$ зависи от разположението на елементарната площ $dS$, по-точно от дълбочината, на която се намира.

$F=\int dF=\int pdS$ - това всъщност е сумиране (Суми на Дарбу) на елементарните сили на натиск върху различните елементарни площи.

$dS=a.dx$ - елементарните площи на дълбочина $x$ в своята съвкупност са ширината на вратата по безкрайно-малката промяна на дълбочината.

$\int_a^bxdx=\frac{x^2}{2}|_a^b$, понеже $\left(\frac{x^2}{2}\right)'_x=x$, а си има фомула (на Нютон-Лайбниц): $F'(x)=f(x)\Rightarrow\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$