Инерционен (инерчен) момент

[Гост]

Определете инерчния момент на плътен еднороден цилиндър с маса m и радиус R спрямо ос, минаваща през оста на симетрия на цилиндъра.

[peyo]

Определете инерчния момент на плътен еднороден цилиндър с маса m и радиус R спрямо ос, минаваща през оста на симетрия на цилиндъра.

Според https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B2_%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD_%D0%BC%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82

[tex]I = \sum_{i=1}^{N }m_ir_i^2[/tex]

В условието не е дадена височината h на цилиндъра по някаква причина, вероятно защото няма значение. Ще видим.

Ще се опитаме да решим задачата като се опитаме да сумираме моментите на всички безкрайно малки тръби една в друга като матрьошки на разстояние от 0 до R

Масата на една малка тръба с дебелина $\Delta r$ на разстояние $r$ e:
$\Delta m(r) = \frac{V_{r+\Delta r} - V_{r}}{V_R}m = \frac{\pi (r+\Delta r)^2 h - \pi r^2 h}{\pi R^2 h}m= \frac{(r+\Delta r)^2 - r^2 }{ R^2 }m$

Охо , h наистина изчезна!

$\Delta m(r) = \frac{r^2+ 2r\Delta r + {\Delta r}^2 - r^2 }{ R^2 }m = \frac{2r\Delta r + {\Delta r}^2 }{ R^2 }m$

Сега да сложим във формулата:

[tex]I = \sum_{r=0}^{R }\frac{2r\Delta r + {\Delta r}^2 }{ R^2 }m r^2 = \frac{m}{ R^2 } \sum_{r=0}^{R } (2r^3\Delta r + r^2{\Delta r}^2 ) = \frac{m}{ R^2 } \sum_{r=0}^{R } r^2\Delta r(2r + \Delta r)[/tex]

[tex]\lim_{\Delta r \to 0}(2r + \Delta r) = 2r[/tex]

[tex]I = \frac{2m}{ R^2 } \sum_{r=0}^{R } r^3\Delta r = \frac{2m}{ R^2 }\int\limits_{0}^{R} r^3 dr = \frac{2m R^4}{ 4R^2 } = \frac{m R^2}{ 2 }[/tex]

[Гост]

ine.PNG (33.71 KiB) Прегледано 305 пъти