Задача по физика

[Гост]

На лодка с тегло М = 4,5 t е разположено водно оръдие, което хвърля назад вода със скорост u = 6 m / s спрямо лодката. Дебитът на изхвърлената вода е m = 25 kg/s. Пренебрегвайки съпротивлението на движението на лодката, определете: 1) скоростта на лодката в t = 3 минути след началото на движението; 2) максимално възможната скорост на лодката.

[peyo]

На лодка с тегло М = 4,5 t е разположено водно оръдие, което хвърля назад вода със скорост u = 6 m / s спрямо лодката. Дебитът на изхвърлената вода е m = 25 kg/s. Пренебрегвайки съпротивлението на движението на лодката, определете: 1) скоростта на лодката в t = 3 минути след началото на движението; 2) максимално възможната скорост на лодката.

Тук ще се опитаме да приложим закона за запазване на импулса. https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum#Conservation

$\frac{dp_1}{dt}=-\frac{dp_2}{dt}$

Където $p_1 $ е импулса на водата, а $p_2$ на лодката.

$p_1 = 25*t*6 = 150t$

$p_2 = 4500v_2(t)$

$\frac{d(150t)}{dt}=-4500\frac{dv_2}{dt}$


$150dt=-4500dv_2$

Интегрираме за да решим диференциалното уравнеие и:

$15t=-450v_2 +C$

$v_2 = -t/30 +C$

Ще намерим C по началното положение. В условието не е казано, но ние ще предположим, че скоростта на лодката в началото е била 0, тогава:

$0 = -0/30 +C$

$C = 0$

Така получаваме:

$v_2 = -t/30$

Минуса просто означава, че лодката се движи в посока обратна на водната струя. И сега да видим въпросите:

1) скоростта на лодката в t = 3 минути след началото на движението

$v_2 = (3*60)/30 = 6 $ m/s

1) 2) максимално възможната скорост на лодката.

От формулата $v_2 = t/30$ се вижда, че няма ограничение на максималната скорост. Може би скоростта на светлината всъщност. Това е защото скоростта на водната струя е спрямо лодката. Ако беше спрямо водата тогава щеше да има предполагам.

[pipi langstrump]

От формулата $v_2 = t/30$ се вижда, че няма ограничение на максималната скорост. Може би скоростта на светлината всъщност. Това е защото скоростта на водната струя е спрямо лодката. Ако беше спрямо водата тогава щеше да има предполагам.

Пропускаш нещо съществено в задачата, затова получаваш нереален извод. Помисли внимателно.

Аз получавам скорост в 3тата минута v = 3,79 m/s. Максималната скорост се намира без сметки.

[peyo]

От формулата $v_2 = t/30$ се вижда, че няма ограничение на максималната скорост. Може би скоростта на светлината всъщност. Това е защото скоростта на водната струя е спрямо лодката. Ако беше спрямо водата тогава щеше да има предполагам.

Пропускаш нещо съществено в задачата, затова получаваш нереален извод. Помисли внимателно.

Аз получавам скорост в 3тата минута v = 3,79 m/s. Максималната скорост се намира без сметки.

Добре, да тръгнем от третия закон на Нютон

$F_A=-F_B$

Където по-скоро ше искаме изменението на импулсите отляво и отдясно за някакво малко време да са еднакио:

$\Delta p_w(t)= \Delta t 25 (6-v(t))$

(тук по-горе направихме едно малко неунтуитивно предположение, че нещо е пропорционално на разликата в скоростите)

$\Delta p_b(t)= 4500(v(t+\Delta t) - v(t)$

$\Delta p_w(t) = \Delta p_b(t)$

$\Delta t 25 (6-v(t)) = 4500(v(t+\Delta t) - v(t))$

[tex]6-v(t) = 180\frac{v(t+\Delta t) - v(t)}{\Delta t}[/tex]

Тук можем да минем към производни:
[tex]6-v(t) = 180\frac{dv}{dt}[/tex]

[tex]-v(t) = -6 + 180\frac{dv}{dt}[/tex]

$180\frac{dv}{dt} + v = 6$

Това сега е linear first order ODE. За такива има готова формула май, но ние ще намерим отговор като решим хомогенното уравнение и после отгатнем едно частно решение, защото по този начин няма нужда да помним формули.

$180\frac{dv}{dt} + v = 0$
$180\frac{dv}{dt} = -v$
$180\frac{dv}{v} = -dt$
$180\int \frac{dv}{v} = -\int dt$

$180log(v) = -t +C$

$v_h = Ce^{-t/180}$

А сега частно решение на $180\frac{dv}{dt} + v = 6$ ще бъде може би някаква полиномна функция с минус и 6 или нещо подобно, но това май е идеално и е решение (полином от нулева степен):

$6$

И така:

$v(t) = Ce^{-t/180}+ 6 $

Търсим C:
$v(0)=0$

$0= C+ 6 $

C=-6

И така:

$v(t) = -6e^{-t/180}+ 6 $

Да видим в минута 3:

In [91]: v=-6*exp(-t/180)+6

In [92]: v
Out[92]: 6 - 6*exp(-t/180)

In [94]: float(v.subs(t,3*60))
Out[94]: 3.792723352971346

Ок, Пипилота, получихме твоя отговор, сигурно сме смятали вярно.

И явно в безкрайност скоростта клони към 6, макар, че ние още в началото базирахме нашата формула,че 6 е максималната скорост.

[pipi langstrump]

Е направи го интуитивно де. Уравненията са верни, но не коректно обяснени според мен. Целта не е да получим някакъв отговор, било то и верен, а да разберем нещата в дълбочина.

Относно диференциалното уравнение - то е с разделими променливи и след като се разделят, се решава с директно интегриране.