Максимално налягане

[pipi langstrump]

Да си представим, че имаме планета, която има радиус R и се състои от желязно ядро и водна обвивка (океан). Какъв трябва да бъде радиуса на желязното ядро, за да бъде налягането на океанското дъно възможно най-голямо?

[mail_dinko]

Ако използваме закона на Паскал и
[tex]p = \rho g h[/tex]
следва, че при радиус на желязното ядро, клонящ към нула, ще имаме най-дебел слой водна обвивка, съответно най-голяма h и тогава се реализира най-високо налягане.

[pipi langstrump]

Не е така.
[tex]p = \rho g h[/tex] е частен случай и не важи тук.

[peyo]

Да си представим, че имаме планета, която има радиус R и се състои от желязно ядро и водна обвивка (океан). Какъв трябва да бъде радиуса на желязното ядро, за да бъде налягането на океанското дъно възможно най-голямо?

Хм. Много интересно!

Плътност на желязото: 7800 кг/м^3
Плътност на водата: 1000 кг/м^3
Радиус на желязното ядро: r

Маса на желязното ядро: $7800(4/3)\pi r^3$

Маса на водната обвивка: $1000 ((4/3)\pi (R-r)^3 - (4/3)\pi (r)^3)$

Формула за g на разстояние r от центъра:
[tex]g=\frac{GM}{r^2}[/tex]

Където G e константа: $G=6.673 x 10^{-11} Nm^2/kg^2$

Формула за налягане на дълбочина h:
$p=ρgh$

(видях, че е частен случай и не важи, но друга нямам)

Тогава търсеното налягане е:

$p = 1000 (\frac{6.673 x 10^{-11}(7800(4/3)\pi r^3 + 1000 ((4/3)\pi (R-r)^3 - (4/3)\pi (r)^3))}{r^2})(R-r)$

$p = \frac{1000 \left(R - r\right) \left(1.90072219848469 \cdot 10^{-6} r^{3} + 2.79517970365396 \cdot 10^{-7} \left(R - r\right)^{3}\right)}{r^{2}}$

И тук стигнахме до кривата круша, защото Sympy не намира реални решения на производната от горното...

[pipi langstrump]

Ми как ще намери, те формулите във физиката не са като стоките в магазина, като няма каквото ни трябва дай да вземем каквото има...

Това в кръга на майтапа де

А и ускорението на свободно падане във вътрешността на планетата не се намира така.

[peyo]

Ми как ще намери, те формулите във физиката не са като стоките в магазина, като няма каквото ни трябва дай да вземем каквото има...

Това в кръга на майтапа де

А и ускорението на свободно падане във вътрешността на планетата не се намира така.

Добре, първо да оправим ускорението.

Според Newton's shell theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem
"...inside a solid sphere of constant density, the gravitational force within the object varies linearly with distance from the center, becoming zero by symmetry at the center of mass."

Нашия случай не е точно такъв, но е подобен, защото имаме 2 constant densities. Ще приложим следната идея от тук:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Mechanics/earthole.html#c1
"For a spherically symmetric mass, the net gravity force on an object from that mass would be only that due to the mass inside its radius, and that would act as if it were a point mass located at the center."

И така, формула за g на повърхността на нашата планета на разстояние R от центъра:
[tex]g_s=\frac{GM}{R^2}[/tex]

Fормула за g като функция на x (разстояние от центъра):
[tex]g_x=\frac{GM_x}{x^2}[/tex]

Маса на желязното ядро: $7800(4/3)\pi r^3$
Маса на водната обвивка: $1000 (4/3)\pi x^3 - 1000 (4/3)\pi r^3$
Където радиус на желязното ядро: r

$M_x = 1000 (4/3)\pi (x^3 - r^3) + 7800(4/3)\pi r^3= (4/3)\pi( 1000 (x^3 - r^3) + 7800 r^3 )$

И така:

[tex]g_x=\frac{G (4/3)\pi( 1000 (x^3 - r^3) + 7800 r^3 )}{x^2}[/tex]

И сега да видим колко е g на дъното на водния слой. Тогава x=r:
[tex]g_r=\frac{G (4/3)\pi( 1000 (r^3 - r^3) + 7800 r^3 )}{r^2} = G (4/3)\pi 7800 r[/tex]

Следва да намерим налягането. Имам някои идеа как да стане това, но всички ми изглеждат сложни. Грешната формула която pipi ни забранява да ползваме дава отговор на задачата R/2, но и аз сега също съм доста сигурен, че не е верен. Ще трябва да помисля повече.

... to be continued

[peyo]

Ми как ще намери, те формулите във физиката не са като стоките в магазина, като няма каквото ни трябва дай да вземем каквото има...

Това в кръга на майтапа де

А и ускорението на свободно падане във вътрешността на планетата не се намира така.

Добре, първо да оправим ускорението.

Според Newton's shell theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem
"...inside a solid sphere of constant density, the gravitational force within the object varies linearly with distance from the center, becoming zero by symmetry at the center of mass."

Нашия случай не е точно такъв, но е подобен, защото имаме 2 constant densities. Ще приложим следната идея от тук:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Mechanics/earthole.html#c1
"For a spherically symmetric mass, the net gravity force on an object from that mass would be only that due to the mass inside its radius, and that would act as if it were a point mass located at the center."

И така, формула за g на повърхността на нашата планета на разстояние R от центъра:
[tex]g_s=\frac{GM}{R^2}[/tex]

Fормула за g като функция на x (разстояние от центъра):
[tex]g_x=\frac{GM_x}{x^2}[/tex]

Маса на желязното ядро: $7800(4/3)\pi r^3$
Маса на водната обвивка: $1000 (4/3)\pi x^3 - 1000 (4/3)\pi r^3$
Където радиус на желязното ядро: r

$M_x = 1000 (4/3)\pi (x^3 - r^3) + 7800(4/3)\pi r^3= (4/3)\pi( 1000 (x^3 - r^3) + 7800 r^3 )$

И така:

[tex]g_x=\frac{G (4/3)\pi( 1000 (x^3 - r^3) + 7800 r^3 )}{x^2}[/tex]

И сега да видим колко е g на дъното на водния слой. Тогава x=r:
[tex]g_r=\frac{G (4/3)\pi( 1000 (r^3 - r^3) + 7800 r^3 )}{r^2} = G (4/3)\pi 7800 r[/tex]

Следва да намерим налягането. Имам някои идеа как да стане това, но всички ми изглеждат сложни. Грешната формула която pipi ни забранява да ползваме дава отговор на задачата R/2, но и аз сега също съм доста сигурен, че не е верен. Ще трябва да помисля повече.

... to be continued

И сега да изчислим налягането. По дефиниция налягане е сила която действа върху единица площ или

[tex]p = \frac{F}{S}[/tex]

S е площта на желязното ядро:

$S = 4\pi r^2$

F е теглото на водата:

$F = M_w g$

Но това няма да е g на дъното на океана, а всяка тънка черупка от окена на разстояние h от центъра на планетат с дебелина $\Delta h$ си има свое собстввено $g_h$ и свое $m_h$. Така F става:

[tex]F = \sum_{h=r}^{R} m_h g_h = \sum_{h=r}^{R} \rho_w S_h \Delta h g_h = \sum_{h=r}^{R} \rho_w 4\pi h^2 \Delta h g_h[/tex]

От вече намерената формула за $g_x$:
[tex]g_x=\frac{G (4/3)\pi( \rho_w (x^3 - r^3) + \rho_i r^3 )}{x^2}[/tex]

Заместваме за $g_h$:

[tex]F = \sum_{h=r}^{R} \rho_w 4\pi h^2 \Delta h \frac{G (4/3)\pi( \rho_w (h^3 - r^3) + \rho_i r^3 )}{h^2}[/tex]

[tex]F = \sum_{h=r}^{R} \rho_w 4\pi G (4/3)\pi( \rho_w (h^3 - r^3) + \rho_i r^3 )\Delta h[/tex]

Минаваме към интеграл:

[tex]F = \rho_w 4\pi G (4/3)\pi \int\limits_{r}^{R} ( \rho_w (h^3 - r^3) + \rho_i r^3 )dh[/tex]

In [21]: I = integrate( rho_w* (h**3 - r**3) + rho_i*r**3, (h, r,R))

In [23]: print(latex(I))
$\frac{R^{4} \rho_{w}}{4} + R \left(r^{3} \rho_{i} - r^{3} \rho_{w}\right) - \frac{r^{4} \rho_{w}}{4} - r \left(r^{3} \rho_{i} - r^{3} \rho_{w}\right)$

$F = 16 \pi^{2} G \rho_{w} \left(\frac{R^{4} \rho_{w}}{4} + R \left(r^{3} \rho_{i} - r^{3} \rho_{w}\right) - \frac{r^{4} \rho_{w}}{4} - r \left(r^{3} \rho_{i} - r^{3} \rho_{w}\right)\right)$

Връшаме се към

[tex]p = \frac{F}{S}[/tex]

[tex]p = \frac{16 \pi^{2} G \rho_{w} \left(\frac{R^{4} \rho_{w}}{4} + R \left(r^{3} \rho_{i} - r^{3} \rho_{w}\right) - \frac{r^{4} \rho_{w}}{4} - r \left(r^{3} \rho_{i} - r^{3} \rho_{w}\right)\right)}{4\pi r^2}[/tex]

Sympy не можа да намери екстремуми в реални числа, дори когато заместих константите с реални стойности. Това е защото в 0-та функцията отива в +безкрайност а в r=R е 0 и просто навсякъде е намаляваща функция.

Така отговора на задачата е когато r=0 ще имаме максимано налягане.

Възможно е да имам грешка някъде, но не я виждам...

[pipi langstrump]

Да, имаш грешка и то сериозна, но подхода ти е верен, макар и нетрадиционен, основните ти формули ти също са верни. Но ще те оставя да я откриеш сам, защото се справяш добре с обработката на информация, макар да ти липсва физическа интуиция. Имам предвид, че е очевидно, че няма как при r=0 налягането да е безкрайно. При чисто водна планета налягането в центъра й ще е даже доста слабо, например за такава с размерите на Земята то е само 568 atm. За сравнение - на дъното на Марианската падина е към 1100 atm.

[peyo]

Да, имаш грешка и то сериозна, но подхода ти е верен, макар и нетрадиционен, основните ти формули ти също са верни. Но ще те оставя да я откриеш сам, защото се справяш добре с обработката на информация, макар да ти липсва физическа интуиция. Имам предвид, че е очевидно, че няма как при r=0 налягането да е безкрайно. При чисто водна планета налягането в центъра й ще е даже доста слабо, например за такава с размерите на Земята то е само 568 atm. За сравнение - на дъното на Марианската падина е към 1100 atm.

Добре сетих се какво може да е. Да изчислим налягането по друг начин. По дефиниция "Pressure (symbol: p or P) is the force applied perpendicular to the surface of an object per unit area over which that force is distributed."

Новото в случая ще бъде perpendicular частта, а предния път аз си мислех, че цялата вода отгоре трябва да броим.

[tex]p = \frac{F}{S}[/tex]

S ще бъде 1 квадратен метър, а силата ще бъде воден стълб(например със сечение квадрат) който навсякъде ще бъде с площ $S_h$ 1 кв метър. Тогава:

$S = 1$

F е теглото на водата:

$F = M_w g$

Но това няма да е g на дъното на океана, а всяка тънка квадратна плоча от стълба вода на разстояние h от центъра на планетата с дебелина $\Delta h$ си има свое собстввено $g_h$ и свое $m_h$. Така F става:

[tex]F = \sum_{h=r}^{R} m_h g_h = \sum_{h=r}^{R} \rho_w S_h \Delta h g_h =\rho_w \sum_{h=r}^{R} \Delta h g_h[/tex]

От вече намерената формула за $g_x$:
[tex]g_x=\frac{G (4/3)\pi( \rho_w (x^3 - r^3) + \rho_i r^3 )}{x^2}[/tex]

Заместваме за $g_h$:

[tex]F =\rho_w \sum_{h=r}^{R} \Delta h \frac{G (4/3)\pi( \rho_w (h^3 - r^3) + \rho_i r^3 )}{h^2} = \rho_w G (4/3)\pi \sum_{h=r}^{R} \frac{( \rho_w (h^3 - r^3) + \rho_i r^3 )}{h^2} \Delta h[/tex]

Минаваме към интеграл:

[tex]F = \rho_w G (4/3)\pi \int\limits_{r}^{R} \frac{( \rho_w (h^3 - r^3) + \rho_i r^3 )}{h^2} dh[/tex]

In [80]: I = integrate( ( rho_w*(h**3-r**3) + rho_i*r**3 )/h**2, (h, r,R))
In [84]: print(latex(simplify(I)))
$\frac{2 R r^{2} \left(\rho_{i} - \rho_{w}\right) + R \rho_{w} \left(R^{2} - r^{2}\right) + 2 r^{3} \left(- \rho_{i} + \rho_{w}\right)}{2 R}$

[tex]F = \rho_w G (4/3)\pi (\frac{2 R r^{2} \left(\rho_{i} - \rho_{w}\right) + R \rho_{w} \left(R^{2} - r^{2}\right) + 2 r^{3} \left(- \rho_{i} + \rho_{w}\right)}{2 R})[/tex]

$p=F/1$

$p=\rho_w G (4/3)\pi (\frac{2 R r^{2} \left(\rho_{i} - \rho_{w}\right) + R \rho_{w} \left(R^{2} - r^{2}\right) + 2 r^{3} \left(- \rho_{i} + \rho_{w}\right)}{2 R})$

In [21]: p
Out[21]: 2*pi*G*rho_w*(2*R*r**2*(rho_i - rho_w) + R*rho_w*(R**2 - r**2) + 2*r**3*(-rho_i + rho_w))/(3*R)

In [22]: print(latex( solve( diff(p,r) ,r) ))
$\left[ 0, \ \frac{R \left(2 \rho_{i} - 3 \rho_{w}\right)}{3 \left(\rho_{i} - \rho_{w}\right)}\right]$

Доста по-добре, намерихме 2 екстремума. Да видим в нашия случай:

In [26]: p_1 = p.subs(G,6.673e-11).subs(rho_w,1000).subs(rho_i,7800)

In [27]: print(latex(solve(diff(p_1,r),r)))
$\left[ 0.0, \ 0.617647058823529 R\right]$

Да сложим и радиуса на Земята и да видим картинката.
In [28]: p_c = p.subs(G,6.673e-11).subs(rho_w,1000).subs(rho_i,7800).subs(R,6378*1000)
In [31]: plot(p_c, (r,0,6378*1000))

kartinkazemia123.png (22.52 KiB) Прегледано 284 пъти

При чисто водна планета налягането в центъра й ще е даже доста слабо, например за такава с размерите на Земята то е само 568 atm. За сравнение - на дъното на Марианската падина е към 1100 atm.

Хм... Да видим
In [32]: float(p_c.subs(r,0))
Out[32]: 5685239546.204688

5685239546 паскала са 56108 атмосфери според конвертора който намерих. Още някъде ли имам грешка или налягането в центъра на водната Земя е доста по-голямо?

[pipi langstrump]

Хм... Да видим
In [32]: float(p_c.subs(r,0))
Out[32]: 5685239546.204688

5685239546 паскала са 56108 атмосфери според конвертора който намерих. Още някъде ли имам грешка или налягането в центъра на водната Земя е доста по-голямо?

Не, грешката е моя тук, замел съм няколко нули в бързината, че даже и атмосферите не съм сметнал коректно. 5 685 239 546 паскала са точно 56 108 физически атмосфери, колкото си написал или 57 974 технически атмосфери, или 56 852,39546 бара. Такова налягане на Земята би се получило според сметките ми в океанска пропаст с 609 км дълбочина. Пак доста по далече от центъра.

За формулата аз получавам същото (с примитиви изчисления на ръка). Може да се направят някои изводи от нея. Ако плътността на вътрешното ядро е по-малка от 1500 kg/m^3, налягането няма екстремум, а се увеличава колкото повече намаляваме r и е най-голямо в центъра, когато изобщо няма ядро. Другото което e, че колкото повече увеличаваме плътността на ядрото толкова по-слабо радиуса му на максимално налягане зависи от това увеличение. При безкрайно плътно ядро максимално налягане имаме при r = 2R/3.

Друго нещо полезно - връзката между налягане, плътност и ускорение на свободно падане е добре известна и може да се ползва наготово при решаване на задачи. Тя е [tex]\nabla p = \rho \vec{g}[/tex]. При нашата задача се опростява до [tex]dp/dz = - \rho g[/tex]