Взрив в междузвездното пространство

[peyo]

Някъде в междузвездното пространство, далече от всичко, което може да окаже гравитационно влияние имаме 1 кг пясък с формата на кълбо. В средата му взривявяме нещо с еквивалент на 1 кг TNT, но цялата енергия се превръща в кинетична и пръска пясъка. Ще се съберат ли пясъчните зрънца отново и ако, след колко време?
Приемете, че в този килограм пясък има 5 милиона зрънца и енергията в 1 кг TNT е 4184000 joules.

[Добромир Глухаров]

$E=4,184.10^6J;\ \gamma=6.6731.10^{-11}m^3kg^{-1}s^{-2}$

$V_0=\sqrt{2E}\approx2\ 892,75m.s^{-1}$

$t=\frac{128V_0^4}{3\gamma}=\frac{512E^2}{3\gamma}\approx4,477.10^{25}s$

За движението на едно зрънце пясък получих уравнението $\ddot{x}=-\frac{\gamma}{x^2}\Rightarrow x^4=-6\gamma t^2+256V_0^4.t$

[pipi langstrump]

Подобна задача има в електростатиката - пресмятане на енергията на създаване или разпръскване на едно заредено тяло. Същите сметки се ползват и при тази задача, съобразени с гравитацията, разбира се.

От закона за запазване на енергията получаваме, че минималната кинетична енергия, която е нужна, за да бъде разпръснато необратимо тялото е равна на сумарната потенциална енергия на всичките му частици. Да видим защо. Да означим тази енергия с [tex]E_k[/tex]. При взрива тялото притежава тази енергия + сумарната потенциална енергия на всички частици, която означаваме с [tex]E_p[/tex]. В края на процеса (който всъщност е безкраен във времето) всичките му частици са отдалечени в безкрайност и скоростта им е 0, значи и кинетичната енергия им е нула, а потенциалната им енергия също е нула, понеже са безкрайно отдалечени една от друга. Следователно получаваме [tex]E_p + E_k = 0 + 0[/tex] или [tex]E_k = - E_p[/tex]. Следователно минималнатa кинетична енергия която е нужна, за да се разпръсне тялото необратимо е равно на сумарната му потенциална енергия взета с обратен знак.
Сега не ми се правят сметки тук, не са сложни, използва се връзката между силата на гравитационно привличане върху една частица и потенциалната й енергия [tex]\vec{F} = - \nabla E_p[/tex], намира се потенциалната енергия на една песъчинка и се сумират (интегрират) потенциалните енергии на всички песъчинки. Като резултат получавам [tex]E_p = -\frac{3}{10} \frac{Gm^2}
{R}[/tex] , където m и R са масата и радиуса на кълбото. За радиуса на кълбото получаваме R = 5,3 cm и като заместим с числените стойност намираме [tex]E_p = - 3,77. 10^{-10} J[/tex]
Толкова малко енергия е нужна за да се разпръсне пясъка необратимо, че той ще се разпадне от само себе си без да е нужен взрив и обяснението, естествено се крие в твърде слабата сила на гравитационното привличане.

[pipi langstrump]

$E=4,184.10^6J;\ \gamma=6.6731.10^{-11}m^3kg^{-1}s^{-2}$

$V_0=\sqrt{2E}\approx2\ 892,75m.s^{-1}$

$t=\frac{128V_0^4}{3\gamma}=\frac{512E^2}{3\gamma}\approx4,477.10^{25}s$

За движението на едно зрънце пясък получих уравнението $\ddot{x}=-\frac{\gamma}{x^2}\Rightarrow x^4=-6\gamma t^2+256V_0^4.t$

Няма как да е вярно това, защото различните частици ще имат различни уравнения на движение. Тези, които са били на повърхността ще се движат по-бавно от онези, които са били около центъра. Намирането на тези уравнения изобщо не е толкова просто.
А това [tex]V_0=\sqrt{2E}[/tex] не е вярно по съображения за размерност. Липсва масата на нещо в знаменателя.

[peyo]

Подобна задача има в електростатиката - пресмятане на енергията на създаване или разпръскване на едно заредено тяло. Същите сметки се ползват и при тази задача, съобразени с гравитацията, разбира се.

От закона за запазване на енергията получаваме, че минималната кинетична енергия, която е нужна, за да бъде разпръснато необратимо тялото е равна на сумарната потенциална енергия на всичките му частици. Да видим защо. Да означим тази енергия с [tex]E_k[/tex]. При взрива тялото притежава тази енергия + сумарната потенциална енергия на всички частици, която означаваме с [tex]E_p[/tex]. В края на процеса (който всъщност е безкраен във времето) всичките му частици са отдалечени в безкрайност и скоростта им е 0, значи и кинетичната енергия им е нула, а потенциалната им енергия също е нула, понеже са безкрайно отдалечени една от друга. Следователно получаваме [tex]E_p + E_k = 0 + 0[/tex] или [tex]E_k = - E_p[/tex]. Следователно минималнатa кинетична енергия която е нужна, за да се разпръсне тялото необратимо е равно на сумарната му потенциална енергия взета с обратен знак.
Сега не ми се правят сметки тук, не са сложни, използва се връзката между силата на гравитационно привличане върху една частица и потенциалната й енергия [tex]\vec{F} = - \nabla E_p[/tex], намира се потенциалната енергия на една песъчинка и се сумират (интегрират) потенциалните енергии на всички песъчинки. Като резултат получавам [tex]E_p = -\frac{3}{10} \frac{Gm^2}
{R}[/tex] , където m и R са масата и радиуса на кълбото. За радиуса на кълбото получаваме R = 5,3 cm и като заместим с числените стойност намираме [tex]E_p = - 3,77. 10^{-10} J[/tex]
Толкова малко енергия е нужна за да се разпръсне пясъка необратимо, че той ще се разпадне от само себе си без да е нужен взрив и обяснението, естествено се крие в твърде слабата сила на гравитационното привличане.

Това със закона за запазването на енергията не ми хрумна, а аз си мислех за друг подход.

... различните частици ще имат различни уравнения на движение. Тези, които са били на повърхността ще се движат по-бавно от онези, които са били около центъра. Намирането на тези уравнения изобщо не е толкова просто...

Мое подход е да приема, че всички частици имат една и съща скорост и се движат в посоко точно обратна на центъра на кълбото.

Тогава ние имаме една разширяваща се първоначално със скорост $v_0$ идеална сфера от N пясъчни частици всяка с маса
$m_i = m/N kg$

Тогава енергията на такава частица е:
$E_i=m_i v_0^2/2$
$E/N=(m/N) v_0^2/2$
$E=m v_0^2/2$
$v_0 = \sqrt{2E/m} $

И сега според Newton's Shell theorem всяка частица ще почувства g спрямо центъра на сферата:

$g(t) = \frac{GM}{r(t)^2} $

Но това е когато е извън сферата, а когато е вътре в сферата ще е 0. Но какво ще стане когато е точно на повърхността на сферата както е в нашия случай? Тогава ще вземем средната стойност (g+0)/2 където G e константа $G=6.673 x 10^{-11} Nm^2/kg^2$

$g(t) = \frac{Gm}{2r(t)^2} $

Тогава уравнението за скоростта на песъчинка е:

$v(t) = v_0 - gt = v_0 - \frac{Gm}{2r(t)^2}t$

$v(t) = \frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt}=v_0 - \frac{Gm}{r^2}t$

Или

$r' + \frac{mG}{2r^2}t =v_0 $

Това е много хубаво нелинейно диференциално уравннеие от първи ред на което още не мога да намеря решение. Но си мисля, че е много добро приближение на нашия конкретен случай!

In [156]: G,t,m,v_0 = symbols("G,t,m,v_0")
...: r=Function("r")(t)
...: drdt=r.diff(t)
...: eq = Eq(drdt+ m*G*t/(2*r**2), v_0)
...: print(latex(eq))
$\frac{G m t}{2 r^{2}{\left(t \right)}} + \frac{d}{d t} r{\left(t \right)} = v_{0}$

In [157]: dsolve(eq)
...: print(latex(dsolve(eq)))
$r{\left(t \right)} = \frac{G m t^{5} v_{0} \left(24 v_{0}^{2} + \frac{13 G m}{C_{1}}\right)}{60 C_{1}^{5}} + \frac{G m t^{4} \left(- 9 v_{0}^{2} - \frac{3 G m}{2 C_{1}}\right)}{24 C_{1}^{4}} + \frac{G m t^{3} v_{0}}{3 C_{1}^{3}} - \frac{G m t^{2}}{4 C_{1}^{2}} + t v_{0} + C_{1} + O\left(t^{6}\right)$

По някаква причина Sympy тръгна да намира някакви приблизителни решения. Не ни вършат много работа, защото ние се интересуваме какво ще стане при големи t.

Но нищо, да се опитаме да намерим решение когато началната скорост е 0:

In [158]: print(latex(dsolve(eq.subs(v_0,0))))
$\left[ r{\left(t \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - \frac{3 G m t^{2}}{4}}, \ r{\left(t \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{3 G m t^{2}}{4}}}{2}, \ r{\left(t \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} - \frac{3 G m t^{2}}{4}}}{2}\right]$

Добре, само първото има смисъл:

In [159]: print(latex(dsolve(eq.subs(v_0,0))[0]))
$r{\left(t \right)} = \sqrt[3]{C_{1} - \frac{3 G m t^{2}}{4}}$

Това има следния смисъл: ако имаме някаква сфера с начален радиус и началната скорост е 0, то сферата ще започне да се свива по тази формула.

За да видим какwо ще стане ако имаме начална скорост трябва да решим уравнението $r' + \frac{mG}{2r^2}t =v_0 $, което още не знам дали е възможно...

[pipi langstrump]

Мое подход е да приема, че всички частици имат една и съща скорост и се движат в посоко точно обратна на центъра на кълбото.

Това ще стане но не веднага, а след известно време. Ако трябва да сме точни при разпръскването на частиците те се движат в сферичен пръстен с дебелина, равна на радиуса на първоначалното кълбо. По Newton's Shell Theorem, която цитираш песъчинките на повърхността изпитват по-голяма гравитационна сила от тези във вътрешността на пръстена, а тези от най - вътрешната част не изпитват никаква сила. Значи постепенно външните ще се забавят за сметка на вътрешните, което ще доведе до изтъняване на пръстена и след определено време всички песъчинки ще са разположени по повърхността на една разширяваща се сфера. Но докато това стане частиците ще имат доста сложни закони за движение.

Но това е когато е извън сферата, а когато е вътре в сферата ще е 0. Но какво ще стане когато е точно на повърхността на сферата както е в нашия случай? Тогава ще вземем средната стойност (g+0)/2 където G e константа $G=6.673 x 10^{-11} Nm^2/kg^2$

Това не е така. Никаква средна стойност не се взима. Функцията има прекъсване по повърхността на сферата, но може да се докаже, че там се определя по закона извън нея.
Т.е. 2ката в знаменателя отпада.

Тогава уравнението за скоростта на песъчинка е:

$v(t) = v_0 - gt = v_0 - \frac{Gm}{2r(t)^2}t$

Ами не е това. Хем имаш променливо ускорение, хем ползваш закона за равноускорително движение. Абсолютно грешно и всичките ти сметки надолу са грешни. Уравнението е съвсем друго и лесно се намира като използваме закона за запазване на енергията.

[peyo]

Мое подход е да приема, че всички частици имат една и съща скорост и се движат в посоко точно обратна на центъра на кълбото.

Това ще стане но не веднага, а след известно време. Ако трябва да сме точни при разпръскването на частиците те се движат в сферичен пръстен с дебелина, равна на радиуса на първоначалното кълбо. По Newton's Shell Theorem, която цитираш песъчинките на повърхността изпитват по-голяма гравитационна сила от тези във вътрешността на пръстена, а тези от най - вътрешната част не изпитват никаква сила. Значи постепенно външните ще се забавят за сметка на вътрешните, което ще доведе до изтъняване на пръстена и след определено време всички песъчинки ще са разположени по повърхността на една разширяваща се сфера. Но докато това стане частиците ще имат доста сложни закони за движение.

Но това е когато е извън сферата, а когато е вътре в сферата ще е 0. Но какво ще стане когато е точно на повърхността на сферата както е в нашия случай? Тогава ще вземем средната стойност (g+0)/2 където G e константа $G=6.673 x 10^{-11} Nm^2/kg^2$

Това не е така. Никаква средна стойност не се взима. Функцията има прекъсване по повърхността на сферата, но може да се докаже, че там се определя по закона извън нея.
Т.е. 2ката в знаменателя отпада.

Тогава уравнението за скоростта на песъчинка е:

$v(t) = v_0 - gt = v_0 - \frac{Gm}{2r(t)^2}t$

Ами не е това. Хем имаш променливо ускорение, хем ползваш закона за равноускорително движение. Абсолютно грешно и всичките ти сметки надолу са грешни. Уравнението е съвсем друго и лесно се намира като използваме закона за запазване на енергията.

Ок, това че уравнението ми е грешно е всъщност добра новина, защото аз пробвах приблизителното решение, което sympy намери да проверя твоя отговор при R = 5,3 cm и [tex]E_p = - 3,77. 10^{-10} J[/tex] и не изглеждаше добре.

Добре да се опитаме да намерим правилното уравннеие този път!

Имаме една разширяваща се първоначално със скорост $v_0$ идеална сфера от N пясъчни частици всяка с маса
$m_i = m/N kg$

Тогава енергията на такава частица е:
$E_i=m_i v_0^2/2$
$E/N=(m/N) v_0^2/2$
$E=m v_0^2/2$
$v_0 = \sqrt{2E/m} $

Според Newton's Shell theorem всяка частица ще почувства g спрямо центъра на сферата:

$g(t) = \frac{Gm}{r(t)^2} $

$G=6.673 x 10^{-11} Nm^2/kg^2$

И сега уравнението за скоростта на песъчинка НЯМА да е е $v(t) = v_0 - gt$, защото g e променливо. Вместо това ще се опитаме да разсъждаваме.

$r_0=C, v_0=C, t_0=0$

В началото ще е нещо такова:
$r(\Delta t) = r_0 + v_0 \Delta t - g_0 \Delta t \Delta t$

След това, ако вече имеме r(t) , то $r(t + \Delta t)$ ще е:
$r(t + \Delta t) = r(t) + v(t) \Delta t - g(t) \Delta t \Delta t$

$\frac{r(t + \Delta t) - r(t)}{\Delta t} = v(t) - g(t) \Delta t$

$\frac{ \frac{r(t + \Delta t) - r(t)}{\Delta t} - v(t)}{\Delta t} = - g(t) $

Тук вече можем да минем към производни:

$r'' = - \frac{Gm}{r^2} $

И това е нашето ново уравнение! Уви не можем да го решим кой знае колко по-добре от предишното. Например wolframalpha намера решение, което не е удобно за сметки:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=r%27%27%28t%29+%3D+-+G*m%2Fr%5E2

А Sympy дори не даде отговор. Но затова пък можем да го решим цифровво.

Да проверим хипотезата на pipi langstrump, че ако взрива е с енергия по-голяма от пoтенциалната, то пясъка ще се пръсне безвъзвратно.

Да разположим в началото всички песъчинки на повърхността на сфера с радиус 10 см. Тогава потенциалната им енергия ще е:

$E = \frac{Gm^2}{r} = \frac{ \text{6.673e-11} }{0.1} =\text{6.673e-10}$

Ще решим диференциалното уравнение цифрово със scipy използвайки scipy.integrate.odeint, която за мое най-голямо удоволствие използва ODEPACK, която е FORTRAN77 библиотека!

Първо трябва да го преобразуваме в система от уравнения от първа степен:
$r' = v$
$ v' = - \frac{Gm}{r^2} $

И кода на Python e следният:

Код: Избери целия код

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(y, t, m, G):
   r, v = y
   dydt = [v, -G*m/r**2]
   return dydt

def calc(m,E,R,T):
   G = 6.673e-11
   v_0 = math.sqrt(2*E/m)
   y0 = [R, v_0]
   t = np.linspace(0, T, 1000000)
   sol = odeint(f, y0, t, args=(m, G))
   return t, sol

m=1; R=0.1
T = 1e9 #seconds
E= 6.673e-10;
t,sol = calc(m,E,R,T)
plt.plot(t, sol[:, 0], 'b', label='$E_p$')

E= 1.001 * 6.673e-10;
t,sol = calc(m,E,R,T)
plt.plot(t, sol[:, 0], 'g', label='1.001*$E_p$')

E= 0.999 * 6.673e-10;
t,sol = calc(m,E,R,T)
plt.plot(t, sol[:, 0], 'r', label='0.999*$E_p$')

#plt.plot(t, sol[:, 1], 'g', label='v(t)')
plt.xlabel('t')
plt.legend(loc='best')
plt.grid()
plt.show()


И резултата е:

e_p73645762.png (29.1 KiB) Прегледано 220 пъти

Което мисля убедително потвърждава отговора на pipi langstrump.

Сега виждам, че Добромир Глухаров е стигнал до същото уравнение

За движението на едно зрънце пясък получих уравнението $\ddot{x}=-\frac{\gamma}{x^2}\Rightarrow x^4=-6\gamma t^2+256V_0^4.t$

Но по някаква причина е намерил друго решение, което не изглежда вярно.

[pipi langstrump]

И сега уравнението за скоростта на песъчинка НЯМА да е е $v(t) = v_0 - gt$, защото g e променливо. Вместо това ще се опитаме да разсъждаваме.

$r_0=C, v_0=C, t_0=0$

В началото ще е нещо такова:
$r(\Delta t) = r_0 + v_0 \Delta t - g_0 \Delta t \Delta t$

След това, ако вече имеме r(t) , то $r(t + \Delta t)$ ще е:
$r(t + \Delta t) = r(t) + v(t) \Delta t - g(t) \Delta t \Delta t$

$\frac{r(t + \Delta t) - r(t)}{\Delta t} = v(t) - g(t) \Delta t$

$\frac{ \frac{r(t + \Delta t) - r(t)}{\Delta t} - v(t)}{\Delta t} = - g(t) $

Тук вече можем да минем към производни:

$r'' = - \frac{Gm}{r^2} $

И това е нашето ново уравнение! Уви не можем да го решим кой знае колко по-добре от предишното. Например wolframalpha намера решение, което не е удобно за сметки:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=r%27%27%28t%29+%3D+-+G*m%2Fr%5E2

А Sympy дори не даде отговор. Но затова пък можем да го решим цифровво.

Това е малко като да откриеш топлата вода . Просто трябва във втория закон на Нютон да положим силата на гравитацията и ще получим същото уравнение, без да е нужно да правим подробен анализ. Но то не ни е нужно, защото ако го интегрираме един път ще получим точно закона за запазване на енергията (ЗЗЕ) за частицата, който можем да намерим директно. ЗЗЕ представлява всъщност първия интеграл на уравнението на движение и това е общ закон, независимо от вида на въпросното уравнение (или уравнения). Затова като използваме ЗЗЕ си спестяваме доста излишни сметки, а и имаме по-широк поглед върху еволюцията на системата.

Да приложим ЗЗЕ върху една песъчинка, получаваме:

[tex]\frac{m{v^2(t)}}{2} - \frac{GMm}{{r(t)}} = \frac{E_k}{N} + \frac{E_p}{N} \space{(1)}[/tex]

Ако интегрираме един път уравнението $r'' = - \frac{GM}{r^2} $ ще получим същото, даже мога да покажа как става номера, но сега да се фокусираме върху (1). Ако го интегрираме още един път ще получим резултата на wolfram, но освен да се заринем с излишни тежки сметки, няма да спечелим нищо от това. Но един поглед върху (1) ни дава нужната информация за възможните изходи на еволюцията на системата. Нека първо дясната страна да е по-голяма от 0, т.е. $E_k > - E_p$. Какво ще стане ако пуснем r да клони към безкрайност? Очевидно в този случай кинетичната енергия на частицата, а оттам и скоростта й ще имат някаква ненулева стойност, което ни показва, че в този случай разпадането на системата е необратимо. Същото е и при $E_k = - E_p$ - тогава колкото повече r се приближава до безкрайност, толкова повече v клони към нулата, т.е. това е граничния случай при който все още имаме необратим разпад. И сега, ако дясната страна е по-малка от нула, т.е. $E_k < - E_p$, ако пуснем r към безкрайност,в лявата част на уравнението се получава положително число, а в дясната отрицателно, което е невъзможно. Значи в този случай песъчинката стига до едно крайно разстояние, където скоростта й става нула (и което лесно се намира от (1)) и понеже е подложена на сила на привличане, се връща обратно назад. Ако искаме да намерим времето, за което ще стане това, вече няма как, ще трябва да интегрираме (1), което, както показва и програмата е възможно в елементарни функции и функцията t(r) се получава в явен вид.