Въртящ се прът

[pipi langstrump]

Тази задача е от от по-лесните.
Даден е хомогенен прът, който се намира някъде в космоса и е завъртян около единия си край с ъглова скорост [tex]\vec{\omega_1}[/tex]. В някакъв момент се освобождава от връзката си с въртящата машина и отплува в пространството. Намерете новата му ъглова скорост, с която ще се върти около центъра си.

[peyo]

Тази задача е от от по-лесните.
Даден е хомогенен прът, който се намира някъде в космоса и е завъртян около единия си край с ъглова скорост [tex]\vec{\omega_1}[/tex]. В някакъв момент се освобождава от връзката си с въртящата машина и отплува в пространството. Намерете новата му ъглова скорост, с която ще се върти около центъра си.

Ъгловия момент на пръта в началото е:
$L=I_1 \omega{_1}$

Където $I_1$ може да е нещо като:
[tex]I_1 = \sum_{i=0}^{N }m_i r_i^2[/tex]

Където $r_i$ е разстояние от единия край до конкретната маса $m_i$

$\Delta r = r/N$
[tex]I_1 = m/N \sum_{i=0}^{N }(i\Delta r)^2 = m/N \sum_{i=0}^{N }(ir/N)^2 = mr^2/N^3 \sum_{i=0}^{N }i^2[/tex]

Тук на края това е известен ред.

[tex]I_1 = \frac{mr^2N(N+1)(2N+1)}{6N^3}[/tex]

[tex]\lim_{N \to \infty }[/tex]


[tex]I_1 = \frac{mr^2}{3}[/tex]



Според закона за запазването на ъгловия момент L има същата стойност и след освобождаването. Но след освобождаването, пръта ще се върти около центъра си.

$I_2 = \sum_{i=0}^{N }m_i p_i^2$

Тук p e новото разстояние и приема пак N стойности но от -r/2 до r/2 или 2-пъти стойности от 0 до r/2. Тогава новия $I_2$ е 2 пъти прът с 2-пъти по-малък радиус:

$I_2 = \frac{2m(r/2)^2}{3} = \frac{mr^2}{6}$

И сега $L_1 = L_2$

$\frac{\omega{_1} mr^2}{3} = \frac{\omega{_2}mr^2}{6}$

Или

$\omega{_2} = 2\omega{_1}$

[pipi langstrump]

Имаш грешка при определянето на инерционния момент на пръта около центъра му. С това изключение, другото е вярно.

[peyo]

Имаш грешка при определянето на инерционния момент на пръта около центъра му. С това изключение, другото е вярно.

Ами да! Всяка половина прът е два пъти по-лека! Ок, от тук продължаваме:

[tex]I_1 = \frac{mr^2}{3}[/tex]

Според закона за запазването на ъгловия момент L има същата стойност и след освобождаването. Но след освобождаването, пръта ще се върти около центъра си.

$I_2 = \sum_{i=0}^{N }m_i p_i^2$

Тук p e новото разстояние и приема пак N стойности но от -r/2 до r/2 или 2-пъти стойности от 0 до r/2, ПРИ 1/2 МАСА:
$I_2 = \frac{2(m/2)(r/2)^2}{3} = \frac{mr^2}{12}$

И сега $L_1 = L_2$

$\frac{\omega{_1} mr^2}{3} = \frac{\omega{_2}mr^2}{12}$

Или

$\omega{_2} = 4\omega{_1}$

[pipi langstrump]

Сега вече е вярно.
Набива се на очи обаче един проблем. Частиците на пръта в началото са имали едни скорости - тези, които са близо до единия му край, който е служил за ос на въртене са се движили по-бавно от тези, които са били близо до отсрещния край. След като оста на въртене се е изместила към центъра на пръта и разпределението на скоростите се е изменило . Пита се как, по какви закони частиците са променили своите скорости.

[pipi langstrump]

Всъщност в разсъжденията на peyo, които и аз смятах, че са верни, е допусната много сериозна грешка. Отговорът изобщо не е този и това лесно може да се провери като се сравнят ротационните кинетични енергии на пръта в началото и в края. Задачата все още не е решена.[tex]\alpha[/tex]

[peyo]

Всъщност в разсъжденията на peyo, които и аз смятах, че са верни, е допусната много сериозна грешка. Отговорът изобщо не е този и това лесно може да се провери като се сравнят ротационните кинетични енергии на пръта в началото и в края. Задачата все още не е решена.[tex]\alpha[/tex]

Мдаа. Закона за запазването на енергията казва, че енергията на пръта преди и след пускането е еднаква. Няма потенциална енергия в тази система, затова цялата е кинетична. Но след пускането пръта тръгва нанякъде с някаква линейна скорост и тази скорост аз не съм взел под внимание.

Ок. Да видим колко е енергията преди пускането. Прът с дължина R и маса M го разделяме на много на брой N малки части. И понеже всички части се движат в една посока им сумираме енергиите.

$E_k = \sum_{i=0}^{N }m_i v_i^2/2 = \sum_{r=0}^{R }m_r v_r^2/2 $

$v_r = \omega r$
$m_r = M/(R/\Delta r) = M \Delta r/R$

$E_k = \sum_{r=0}^{R }(M/2R) \Delta r (\omega r)^2 = (M\omega^2/2R) \int\limits_{0}^{R} r^2 dr = \frac{M\omega_1^2 R^2}{6}$

Тук ще се опитам да отгатна каква ще е скоростта на пръта след пускането? Мисля си, че има някаква логика да е равна на скоростта на центъра на масата преди пускането, което е точно в средата или:

$V_c = \omega_1 R/2$

Или след пускането енергията от линейното движение ще е:

$Е_l = \frac{M\omega_1^2 R^2}{8}$

Сравнявайки с вече намерената формула $E_k = \frac{M\omega_1^2 R^2}{6}$ виждаме, че е по-малка и сега търсим липсващата енергия, което се е скрила във въртеливото дввижение.

$E_v = 2\frac{(M/2)\omega_2^2 (R/2)^2}{6} = \frac{M\omega_2^2 R^2}{24} $

И сега:

$E_k = E_l + E_v$

$\frac{M\omega_1^2 R^2}{6} = \frac{M\omega_1^2 R^2}{8} + \frac{M\omega_2^2 R^2}{24}$

$\frac{\omega_1^2 }{3} = \frac{\omega_1^2 }{4} + \frac{\omega_2^2 }{12}$

$4\omega_1^2 - 3\omega_1^2 = \omega_2^2 $

$\omega_1^2 = \omega_2^2 $

$\omega_1 = \omega_2 $

Оказаха се еднакви.

Този отговор малко ме учуди и затова реших да направя симулация със pymunk, Което е 2D библиотека за физически изчисления предимно за игри, но също така за симулации на твърди тела. И резултата е:

screensim.gif (77.29 KiB) Прегледано 285 пъти

Резултата съвпада точно. Ъглова скорост преди:
0.07424638513408295
След:
0.07424163862690866

[pipi langstrump]

Мдаа. Закона за запазването на енергията казва, че енергията на пръта преди и след пускането е еднаква. Няма потенциална енергия в тази система, затова цялата е кинетична. Но след пускането пръта тръгва нанякъде с някаква линейна скорост и тази скорост аз не съм взел под внимание.

Всъщност задачата може да се реши и със закона за запазване на момента на импулса, както се беше опитал да го направиш, но това, което не беше взел предвид е, че момента на импулса трябва да се определя спрямо фиксирана точка, а не спрямо центъра на въртене.

Иначе и мен първоначално ме учуди резултата, но след като размислих, ми светна, че е очевиден и дори не е нужно да правим почти никакви сметки, за да стигнем до него. Това, което ми беше неразбираемо през цялото време- как така частиците на пръта изведнъж започват да се движат с някаква друга скорост, след като пръта се освободи? Това явно е невъзможно за идеално твърдо тяло и просто трябваше да се сетя, че новата ъглова скорост трябва да е такава, че да запази скоростите на всички частици веднага след освобождаването му. За една частица на разстояние r от центъра на пръта, скоростта в началото е [tex]\omega_1 (\frac{l}{2} + r)[/tex]. Веднага след като пръта бъде освободен тя става [tex]v_c + \omega_2 r = \omega_1 \frac{l}{2} r + \omega_2 r[/tex]. Виждаме, че двете линейни скорости на частицата са равни само когато [tex]\omega_2 = \omega_1[/tex]. Без ъглови моменти и енергии.

[pipi langstrump]

Нещо, което е важно да се добави е ,че горните разсъждения не важат специално за прът, а са в сила за произволно твърдо тяло и това лесно се вижда като заместим l/2 с разстоянието от оста на въртене до центъра на масите на даденото тяло.
Защо обаче е така, има ли някаква по - очевидна причина? Да разгледаме едно тяло което се върти около оста си обратно на часовника в система K, която е неподвижна спрямо центъра на масите му. В нея тялото има само въртеливо движение и нека една от крайните му точки P се движи със скорост v спрямо К. Да го разгледаме сега в друга система К', която се движи със скорост - v, т.е. наляво от тялото. Когато P е в най - долно положение скоростта й спрямо К' е нула и така все едно имаме тялото, когато е завъртяно около тази точка. Но понеже ъгловата скорост не се променя при преход от една към друга невъртящи се системи, то в К' тя е равна на тази в К.