Бягаща звезда

[pipi langstrump]

В астрономията една звезда S2 се нарича бягаща, ако е била част от двойна звезда, а другата звезда S1 е избухнала като свръхнова. Заради загубата си на маса S1, превръщайки се в неутронна звезда N1 (или черна дупка) не може вече да удържи гравитационно S2 и последната се понася из космоса с висока скорост. Намерете максималното отношение на масите на N1 и S1, за да стане S2 бягаща звезда.

Скрит текст: покажи

Има и бягащи звезди, които се образуват, когато двойна звезда се приближи до масивна черна дупка, като S2 бива изхвърлена с огромна скорост, а S1 остава пленена от черната дупка.

[peyo]

В астрономията една звезда S2 се нарича бягаща, ако е била част от двойна звезда, а другата звезда S1 е избухнала като свръхнова. Заради загубата си на маса S1, превръщайки се в неутронна звезда N1 (или черна дупка) не може вече да удържи гравитационно S2 и последната се понася из космоса с висока скорост. Намерете максималното отношение на масите на N1 и S1, за да стане S2 бягаща звезда.

Скрит текст: покажи

Има и бягащи звезди, които се образуват, когато двойна звезда се приближи до масивна черна дупка, като S2 бива изхвърлена с огромна скорост, а S1 остава пленена от черната дупка.

Да разгледаме системата където двете звезди се въртят една около друга по хубави правилни окръжности около някаквва обща точка на масата. Тогава:

Параметри на системата, маси, ъглова скорост, разстояние между центровете им.
$M_1, M_2, \omega, D$

Те се въртят около центъра масата им, който е на растояние $d_1$ от S1:

$d_1 = \frac{D M_2}{M_1+M_2}$

$d_2 = D-\frac{D M_2}{M_1+M_2} = \frac{D M_1 + D M_2 -D M_2}{M_1+M_2} = \frac{D M_1 }{M_1+M_2}$

Тогава линейните им скорости са;

$v_1 = \frac{\omega D M_2}{M_1+M_2}$

$v_2 = \frac{\omega D M_1}{M_1+M_2}$

Потенциалната енергия на системата е:
$U_1 = -\frac{G M_1 M_2 }{D}$

Кинетичната енергия е:

$E_{k1} = M_1 (\frac{\omega D M_2}{M_1+M_2})^2/2 + M_2 (\frac{\omega D M_1}{M_1+M_2})^2/2 = \frac{(\omega D )^2}{2(M_1+M_2)^2}(M_1 M_2^2 + M_2 M_1^2) = \frac{(\omega D )^2 M_1 M_2 }{2(M_1+M_2)^2}( M_2 + M_1) = \frac{(\omega D )^2 M_1 M_2 }{2(M_1+M_2)}$

За да бъде системата в хубаво равновесия кинетичната и потенциаланта енергии мисля, че трябаа да за равни:

$U_1 + E_{k1} = 0$

$\frac{G M_1 M_2 }{D} = \frac{(\omega D )^2 M_1 M_2 }{2(M_1+M_2)}$

$\frac{2G (M_1+M_2) }{D^3} = \omega^2 $

И това е хубава ръзка между омега и D, която ще използаме във втората част.

След като S1 избухне в супернова, масата и става $N_1$

Да видим чертежа:

geogebra-export(23).png (1.06 MiB) Прегледано 754 пъти

Чертежа не е особено важен всъщност.

И сега ще твърдим, че за да се разделят двете звезди потенциалната енергия на новата система трябва да е само по-малка от кинетичната в момента след взрива.

$E_{k2} = \frac{M_2 v_2 ^2}{2} = \frac{M_2 (\frac{\omega D M_1}{M_1+M_2}) ^2}{2}$

$E_{kn1} = \frac{N_1 v_1 ^2}{2} = \frac{N_1 (\frac{\omega D M_2}{M_1+M_2}) ^2}{2} $

$E_{k2} + E_{kn1} = \frac{M_2 v_2 ^2}{2} = \frac{M_2}{2} (\frac{\omega D M_1}{M_1+M_2}) ^2 + \frac{N_1}{2} (\frac{\omega D M_2}{M_1+M_2}) ^2 = \frac{\omega^2 D^2}{2(M_1+M_2)^2} ( M_2 M_1^2 + N_1 M_2 ^2)$

$E_{k2} + E_{kn1} =\frac{2G (M_1+M_2) }{D^3} \frac{ D^2}{2(M_1+M_2)^2} ( M_2 M_1^2 + N_1 M_2 ^2)$

$U_2 = -\frac{G N_1 M_2 }{D}$

$\frac{ G }{D^3} \frac{ D^2}{ (M_1+M_2)} ( M_2 M_1^2 + N_1 M_2 ^2) > \frac{G N_1 M_2 }{D}$

$ \frac{1 }{M_1+M_2}( M_2 M_1^2 + N_1 M_2 ^2) > N_1 M_2 $

$ \frac{1 }{M_1+M_2}( M_1^2 + N_1 M_2 ) > N_1 $

$ M_1^2 + N_1 M_2 > M_1 N_1 +M_2 N_1 $

$ M_1 > N_1 $

Излиза че винаги ще се разделят, защото винаги $ M_1 > N_1 $.

[pipi langstrump]

За да бъде системата в хубаво равновесия кинетичната и потенциаланта енергии мисля, че трябаа да за равни:

$U_1 + E_{k1} = 0$

Ммне.

Излиза че винаги ще се разделят, защото винаги $ M_1 > N_1 $.

Няма как да е вярно това. Ако M1 - N1 e много малко системата изобщо няма да усети че нещо се е случило.