Еластични сили

[Гост]

Моля за помощ! Задача по физика от: сила и енергия при хармонично трептене.


Тяло с маса m=2,5kg, което се движи по хоризонтална равнина се удря в пружина с коефициент на еластичност k=10 N/m. Колко секунди тялото ще бъде в контакт с пружината?

[ammornil]

По спомен, но не гарантирам че е 100% вярно:[tex]\\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad[rad/s] \\ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\cdot{}\sqrt{\frac{m}{k}},\quad[s] \\ t_{контакт}=\frac{T}{2}=\pi\cdot{}\sqrt{\frac{m}{k}},\quad[s][/tex]

[peyo]

Моля за помощ! Задача по физика от: сила и енергия при хармонично трептене.


Тяло с маса m=2,5kg, което се движи по хоризонтална равнина се удря в пружина с коефициент на еластичност k=10 N/m. Колко секунди тялото ще бъде в контакт с пружината?

Това "коефициент на еластичност k=10 N/m" предполагам означава, че ако свием пружината 1м , то силата която ще има пружината е 10N. Или на $x$ разстояние от началото:
$F(x) = 10x $

$F=m*a$
$F/m=a$

$v(t+dt) = v(t) - (F(x)/m) dt = v(t) - 10x(t) dt /2.5 = v(t) -4 x(t) dt $

$\frac{v(t+dt) - v(t)}{dt}= - 4x(t) $

Преминаваме към производни:

[tex]\begin{array}{|l} v'= -4x \\ x' = v \end{array}[/tex]

Получихме една много хубава системка от диференциялни уравнения с начални условия:

$v(0) = v_0 $
$x(0) =0$

Такава система не помня как се решаваше, но мисля, че беше нещо сложно, затова ще накараме компютъра да я реши:

v, x = symbols("v x", cls=Function)
t = symbols("t")
eqs = [ v(t).diff(t) + 4*x(t), x(t).diff(t) - v(t)]

In [34]: print(latex(dsolve(eqs, [v(t), x(t)], ics={x(0): 0, v(0): v_0})))
$\left[ v{\left(t \right)} = v_{0} \cos{\left(2 t \right)}, \ x{\left(t \right)} = \frac{v_{0} \sin{\left(2 t \right)}}{2}\right]$

На функцията $x(t)$ първата нула е в 0, а втората нула е в [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].

Значи [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] секунди тялото ще бъде в контакт с пружината.

[peyo]

Тяло с маса m=2,5kg, което се движи по хоризонтална равнина се удря в пружина с коефициент на еластичност k=10 N/m. Колко секунди тялото ще бъде в контакт с пружината?

...
[tex]\begin{array}{|l} v'= -4x \\ x' = v \end{array}[/tex]

Получихме една много хубава системка от диференциални уравнения с начални условия:

$v(0) = v_0 $
$x(0) =0$
...
Значи [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] секунди тялото ще бъде в контакт с пружината.

Това е вярно решение, но системата води до уравнение от 2-ра степен, което се решава трудно. Чудех се дали има по-лесно решение. Още не съм го намерил.
Но какво ще стане ако вместо време търсим колко се е свила пружината? :

$E_k = m v_0^2/2 = 1.25v_0^2$

[tex]dE_p = F dx = 10x dx[/tex]

[tex]E_p = \int\limits_{0}^{x} 10x dx = 5 x^2[/tex]

И сега това е нещо странно, но изглежда да е ввярно:
$E_k = E_p$

$5 x^2 = 1.25v_0^2$

$x_{max} = v_0/2$

Което е и отговора който търсим и не се наложи да решаваме диференциално уравнение от 2-ра степен. Интересно сега като знаем колко е максимално свиването, дали можем да намерим времето по-лесно?

[pipi langstrump]

Интересно сега като знаем колко е максимално свиването, дали можем да намерим времето по-лесно?

Не може. И кое му е трудното на това уравнение?