въртене на течност

[L.e.o]

Чаша с височина H и радиус R е напълнена с течност с височина h.
С каква ъглова скорост трябва да се завърти течността, че да се разлее от чашата?
(капилярните налагания се игнорират и ъгловата скорост е константна за цялата течност)

[pipi langstrump]

Получавам [tex]\omega\ge \frac{2}{R}\sqrt{g(H-h)}[/tex]
но може и да съм сбъркал някъде.
Имаш ли отговор?

[L.e.o]

Аз получавам
[tex]\omega\ge \frac{\sqrt{3g(H-h)}}{R}[/tex]

[pipi langstrump]

Може и твойто да е вярно.
Откъде точно се появява тройката?

[L.e.o]

Еми аз правя, което мисля, че и ти си направил.
(двумерен модел, нека точка (0,0) е в центъра на дъното на чашата)
Разлагане на 3те сили от координати х и у.
N - номална реакция, Fc - центрост. сила, G- тежест.
N.sina = Fc = mwwx , Ncosa = G =mg => tg a = wwx/g

Търсим y(x) , където х e [-R,+R].
y'(x) = tg a = wwx/g
Интегрираме и получаваме [tex]y(x) = \frac{w^{2}x^{2}}{ 2g} +C[/tex]
Търсим С.
Обема е постоянен:
[tex]\int_{0}^{R }y(x).dx = hR[/tex]
[tex]\int_{0}^{R }(\frac{w^{2}x^{2}}{ 2g} +C)dx = hR[/tex]
=> [tex]C = h - \frac{w^{2}R^{2}}{6g }[/tex]

[tex]y(x) = \frac{w^{2}}{ 2g}(x^{2}-\frac{R^{2}}{3 }) + h[/tex]
За разливане:
y(R) ≥ H
[tex]\frac{w^{2}}{ 2g}(R^{2}-\frac{R^{2}}{3 }) + h \ge H[/tex]
[tex]\frac{w^{2}R^{2}}{ 3g} \ge H-h[/tex]
[tex]\omega\ge \frac{\sqrt{3g(H-h)}}{R}[/tex]

Бил предположил, че си объркал при интегрането на y(x) (там където идва 3-ка в знаменателя)

[pipi langstrump]

Да, твоето е вярно Всъщност аз търсех обема по друг начин с друг интеграл и оттам е дошло разминаването.

[pipi langstrump]

Се не го догаждам по моя начин. Ще обясниш ли тази формула за обем как се получава?

[L.e.o]

Представи си чашата двумерна.
В спокойното състояние, обема на течността би се представил чрез лицето на правоъгълника с височина h и оснота 2R (от -R до +R). Тоест половината "обем" на течността е hR.
В неспокойно състояние, полу-обема на течността се представя от лицето под y(x) в интервала за х от 0 до R.
Но в спокойно и неспокойно състояние обема си е един и същ, така като и лицата в двумерната картинка са. И така: интеграл от у(х) от 0 до R е равен на hR.

[pipi langstrump]

Не те разбирам. hR не може да е обем, защото има размерност на площ. Това, което казваш за площтта под кривата е вярно, но как я намираш като функция на х?

Да ти покажа моя начин - първо си определяме координатната система (за по-лесно) така че параболата да има уравнение [tex]y = \frac{\omega^2}{2g}x^2[/tex]. Трябва да намерим обема на течността под параболоида. Площта на сечението на параболоида с равнина, перпендикуляра на оста на въртене и на разстояние y от началото на к.с. е [tex]\pi r^2[/tex], но r всъщност е х, затова [tex]S = \pi x^2 = \frac{2g \pi y}{\omega^2}[/tex]. Обемът на парболоида е
[tex]\int_{0}^{\frac{\omega^2}{2g}R^2} \frac{2g \pi y}{\omega^2} dy = \frac{\pi \omega^2 R^4}{4g}[/tex]. Обемът на течността под него е [tex]\pi R^2 {\frac{\omega^2}{2g}R^2} - \frac{\pi \omega^2 R^4}{4g} = \frac{\pi \omega^2 R^4}{4g}[/tex]
И така за интеграционната константа С се получава:

[tex]\pi R^2C + \frac{\pi \omega^2 R^4}{4g} = \pi R^2h[/tex]
[tex]C = h - \frac{\omega^2 R^2}{4g}[/tex]

Не знам, ако бъркам, къде точно ще е .

[L.e.o]

Oтрязвам си рингче с дебелина dx и радиус х от параболида. То има дължина 2пх, ширина dx и височина y(x). Тоест, обемчето му е: dV = y(x).2пR.dx . Интегрирайки това обемче от 0 до R трябва да получим целият обем на течността равен на hпR^r.
[tex]\int_{0}^{ R}y(x)2 \pi x .dx = h\pi R^{2}[/tex]
И от тук се получава твоето решение, което е ВЯРНОТО.

А можеш ли да решиш задачата, ако капилярнито налягание не се пренебрегват, а коеф. на повърх. напрежение и ъгъла на мокрене са известни?

[pipi langstrump]

Последно, кое е правилно, моето или твоето?

Иначе с капилярни сили би било интересно...сигурно трябва да ползваме формулата на Лаплас, ще помисля, ако не ме мързи.

[L.e.o]

Oтрязвам си рингче с дебелина dx и радиус х от параболида. То има дължина 2пх, ширина dx и височина
И от тук се получава твоето решение, което е ВЯРНОТО.

Голям провал за мен с това опростяване в двумерна картинка. Сега го мъдря с капилярните пък дано стане нещо...

[pipi langstrump]

Извинявай, бавно загрявам
Ето една друга задача, която може да се постави в тази ситуация - с каква ъглова скорост трябва да се завърти водата, така че в центъра на чашата да се образува сухо кръгче