Човек и автобус

[Martin Nikovski]

Автобус се движи със скорост [tex]v_1=16\frac{m}{s}[/tex]. На разстояние [tex]s=60m[/tex] от шосето и [tex]S=400m[/tex] от автобуса се намира човек, който бяга с постоянна скорост [tex]v_2=4\frac{m}{s }[/tex]. Дължината на автобуса се пренебрегва.

Чертеж.

Drawing.jpg (11.1 KiB) Прегледано 474 пъти

а) В каква посока трябва да бяга човекът, така че да излезе на шосето едновременно с автобуса или преди него (т.е. да успее да се качи) - търсим ъгъл [tex]\alpha[/tex] - това е ъгълът между [tex]S[/tex] и траекторията на човека...
б) Определете геометричното място на точките, в който може да се намира първоначално човека, така че да успее да хване автобуса. С каква минимална скорост [tex]v_{min}[/tex] и в каква посока ([tex]\alpha[/tex]) трябва да се движи?
Сега започвам да я решавам, не ми се вижда особено трудна (особено а))...
Ако някой иска, може да опита и да си сверим решенията... L.e.o, pipi

[L.e.o]

A - началната позиция на автобуса
B - началната позиция на човека
С - крайната позиция на 2мата
sin B = ?
sin A = 60/400
V1.t / sin B = V2.t / sin A => sin B = sin A . V1/V2 = 60/400 . 16/4 = 3/5

b) tg A ≤ V1/V2 , за да хване автобуса

[Martin Nikovski]

Как не се сетих за синусова теорема??? Аз го смятах с координати, какво ли още не и накрая "докретах" до отговора, а ти - на 2 реда... Велико!

[Martin Nikovski]

А... тази според мен е "фалшива"...
Един работник ходел всеки ден на работа в определено време с транспорт, осигурен от фирмата, в която работел (с автобус). Веднъж обаче подранил с [tex]\Delta t_1=1h[/tex] и решил вместо да чака, да тръгне пеша. По пътя "срещнал" автобуса и се качил в него, като пристигнал във фирмата с [tex]\Delta t_2=10min[/tex] по-рано от обикновено. Колко време [tex]t[/tex] е вървял пеша? Решете задачата графично...
Тук не разбирам как така пристига по-рано при положение, че все пак пътува с автобуса и би трябвало да е във фирмата по-същото време.

[L.e.o]

За да се реши задачата трябва:
- да се спомене, че в този ден автобуса е тръгнал по-рано иначе задачата не е дефинирана правилно
- да се знае дали като е тръгнал пеша 1 час по-рано е щял да пристигне навреме (не по-рано)
- да се знаят скоростите на пешеходеца и автобуса

Иначе:

Ов -наклона е пропорционален на скоростта на автобуса
са - наклона е пропорционален на скоростта на пешеходеца
времето на ходене пеша преди да се качи на автобуса = 60+Т1
Т-Т2 = 10
Наклона на сb е същият като на 0а
С подобни триъгълници и тн ще го докараш до някакво отношение на V1 и V2, чиито стойностти ще ти трябват за намирането на реална стойност за Т1.

[Martin Nikovski]

ОК... и аз така си помислих...
А за първата - имаш ли идея за това ГМТ??
П.П. Определено има логика да ни трябват скоростите...

[Martin Nikovski]

Въпрос: на 1.а) се получава [tex]sin\alpha =\frac{3}{5 } \ \Rightarrow\ \alpha \approx 37^\circ \cup\ \alpha \approx 180^\circ-37^\circ\approx 143^\circ[/tex]
И двете ли са решения?? И... как получи този [tex]tg[/tex] на б)?

[L.e.o]

ГМТ?

[Martin Nikovski]

Геометрично място на точки... Виждам, че си го написал, но не разбирам откъде идва този [tex]tg[/tex]..'
----

[pipi langstrump]

На прима виста получих, че [tex]\alpha[/tex]трябва да удовлетворява неравенството [tex]sin \alpha + \sqrt{\frac{S^2}{s^2 } - 1} cos \alpha \ge \frac{v_1}{v_2}[/tex] , но може и да не е точно това, съвсем набързо го съставих. Уточнявам, че тук [tex]\alpha[/tex] е ъгълът между [tex]\vec{{v_2}[/tex] и нормалата, а не между [tex]\vec{{v_2}[/tex] и [tex]S[/tex] (за по-лесно)

[Martin Nikovski]

И аз бях получил нещо такова... когато я решавах за първи път---

[Martin Nikovski]

На втората задача получих, че търсеното време е [tex]T_C=\frac{V_1}{V_1-V_2 }\left(\Delta T_1-\Delta T_2\right)[/tex], където:
- [tex]V_1[/tex] е скоростта на автобуса
- [tex]V_2[/tex] е скоростта на човека, когато върви пеша
- [tex]\Delta T_1=1h[/tex]
- [tex]\Delta T_2=10min=\frac{1}{6}h[/tex]
Иначе казано, трябва да намеря колко е [tex]\frac{V_1}{V_1-V_2 }[/tex].
Стигам до [tex]\frac{V_1}{V_1-V_2 }=\frac{T_1}{\Delta T_1 }[/tex], т.е. в отговорът става [tex]T_C=\frac{T_1}{\Delta T_1 } \left(\Delta T_1-\Delta T_2\right)[/tex]
Някой има ли идея как да изразя [tex]T_1[/tex] чрез известните времена (или поне чрез [tex]T_C[/tex])? На чертежа на L.e.o това време е означено като [tex]T[/tex]...
Благодаря!

[pipi langstrump]

за ъгъла [tex]\alpha[/tex] от условието получих [tex]sin \alpha \ge \frac{v_1}{v_2}\frac{s}{S} = \frac{3}{5}[/tex].

[Martin Nikovski]

Да.. така е.. това е верният отговор..
Или за [tex]\alpha[/tex]: [tex]\alpha \in\left(37^\circ ;\ 143^\circ \right)[/tex]
Ще погледнеш ли и втората?

[L.e.o]

Нека скоростта на пешеходеца я разделим на Vn (в посока към шосето) и Vt(по посока на движението на автобуса).
Ако скоростта на автобуса е > Vn, то за оптимален вариант(човека да е най-далеч или да се движи с мин.скорост) за хващане на автобуса, човека трябва да се движи директно към шосето(V=Vt, Vn=0).

Разтоянието от човека то шесето, той го изминава за t2=x/V2, a да стигне до тази точка на на автобуса му е нужно t1=y/V1
За да хване автобуса човека трябва той да е там преди автобуса: t2≤t1
x/V2 ≤ y/V1 => x/y ≤V2/V1 => tg A ≤ V2/V1 (oфф пак съм оплескал по-горе сметките наум)
Ако човека е "в ъгъла А", ще хване автобуса.

V2min ≥ V1.tgA

[Martin Nikovski]

ОК... Мерси много!

[pipi langstrump]

Значи, ако поставим началото на декартовата координатна система в началната точка на тръгване на автобуса, а оста х да е по посока на движението му и за да е изпълнено неравенството [tex]sin \alpha \ge \frac{s}{S}\frac{v_1}{v_2}[/tex], трябва преди всичко [tex]\frac{s}{S}\frac{v_1}{v_2} \le 1[/tex]. Но [tex]s = |y|, S = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex], следователно получаваме [tex]\frac{|y|}{\sqrt{x^2 + y^2}}\frac{v_1}{v_2} \le 1[/tex] или [tex]y^2\left(\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 - 1\right) \le x^2[/tex]. Освен това е ясно че, x трябва да е [tex]\ge 0[/tex], следователно, в тази координатна система ГМТ има уравнение [tex]|y|\sqrt{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 - 1} \le x[/tex]. Това е вътрешността на множеството, оградено от двете симетрични, спрямо Ох прави [tex]y = \frac{x}{\sqrt{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 - 1} } , y = -\frac{x}{\sqrt{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 - 1} } , x\ge 0[/tex] т.е. тангенсът на ъгъла, който сключват с нея е [tex]\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 - 1} }[/tex]

П.п. Поправете ме, ако греша.