"Парадокс" на купола

[pipi langstrump]

Какво обяснение предлагате за този "парадокс"?

https://m.youtube.com/watch?v=EjZB81jCG ... BwYXJhZG94

[ammornil]

Този проблем е много над моите познания в областта, но това няма да ме спре да изкажа мение.
Ако в мението ми има логическа или математическа невярност, моля да ме поправите.

Това, което аз разбрах от видеото, е че Нортън доказва, че уравненията на Нютон изискват само втората производна на закона за пътя във функция на времето (формата на ускорението) да съответства на равнодейстащата сила във всеки момент. Те не поставят ограничения на по-високите редове уравнения (скорост, път). Детерминизмът не е гарантиран в този математически модел, така че топката може да „реши“ да се движи във всеки произволен момент и във всяка произволна посока, без да има какъвто и да е силов импулс в модела. Изглежда, че топчето "има воля".
Пак доколкото аз разбрах, това е граничен случай на наклонена равнина със специален наклон за който радиалното ускорение $\ddot{r}=b^{2}\sqrt{r}$ във всяка точка от повърхността е функция на разстоянието от върха $r$. Последното показва, че в точката на върха усокрението е $0$ защото разстоянието от върха е нула. В тази точка (върха на купола) наклoнът (кривината на равнината на купола) $\dfrac{dh}{dr}=\dfrac{\ddot{r}}{b}=\dfrac{b^{2}\sqrt{r}}{g} \Rightarrow h''(r)=\dfrac{b^{2}}{2\cdot{g}\cdot{\sqrt{r}}}$ е безкраен спрямо нормалата понеже $r=0$. От това според мен се поражда въпросът: може ли сфера да се бланасира до състояние на покой на върха на неподвична игла, перпендикулярна на нормалата? С други думи може ли да се построи такъв купол, и ако може, може ли да се балансира идеално сферично тяло на върха му? Опасявам се, че имам повече въпроси по вашата тема за размисъл отколкото отговори...

[pipi langstrump]

На теория е ясно, че топчето, ако се балансира на върха на такава идеална крива ще има 2 възможности - или да стои неподвижно или да тръгне нанякъде, защото за да започне движението му е нужен безкрайно малък импулс, т.е. и двете решения ще изпълняват условията на движение. По същия начин на теория можем да балансираме идеално едно махало в максимално горно вертикално положение и то може да започне да се люлее, защото и най-малкия клонящ към нула импулс ще го разбалансира. Но на практика нито съществуват такива идеални криви нито дори да съществуват можем точно да балансираме нещо по върховете им. Но все пак в клипчето е показана реална повърхнина и топчето се балансира върху върха й и след известно време сякаш спонтанно започва да се плъзга. Защо става така?

[ammornil]

Аз не бих вярвал на всичко което е показано в Интернет, дори от източници които са реномирани. Не мисля, че показания купол е точно теоретичния модел от мисловния експеримент.

Скрит текст: покажи

You're absolutely right to be sceptical—Norton’s Dome is a real head‑scratcher, not a simple oversight.

**What’s the paradox again?**
Norton crafted a perfectly smooth, frictionless dome defined by $h = \frac{2b^2}{3g} r^{3/2}$. A ball sitting motionless at the apex (with zero velocity) should remain at rest—but mathematically, Newton’s laws also allow it to spontaneously begin rolling at any arbitrary time $T$, in any direction, with no applied force ([Wikipedia][1]).

**Why is this so unsettling?**
Because it shatters determinism in Newtonian mechanics—given a perfect initial state, the future isn't unique. It’s a blatant violation of the expectation that physics should be predictable ([Wikipedia][1], [sites.pitt.edu][2]).

---

### Explanations & Responses Over Time

1. **Non-Lipschitz Force → Non-uniqueness**
The root issue is that the dome’s force law $\ddot r = b^2 \sqrt{r}$ fails the Lipschitz condition near $r=0$. Without Lipschitz continuity, the Picard–Lindelöf theorem (which guarantees unique solutions under Newtonian ODEs) doesn’t apply—a classic mathematical loophole ([Wikipedia][1]).

2. **"Unphysical" Idealization**
Critics argue that the dome's shape is non-smooth at the apex and physically impossible to realize. Small perturbations or imperfections would eliminate the pathological behaviour ([Azimuth][3]).

3. **Stitched Solutions / Higher Derivatives**
Some say Norton simply "stitched" two different solutions—one staying at rest, another beginning to move—at an arbitrary time $T$, and treated it as a single physical trajectory. That’s mathematically valid but physically unjustified. They point out that although position, velocity, and acceleration are zero at $t=T$, higher derivatives (like "snap" or fourth-order derivatives) differ between the two branches—making them fundamentally incompatible initial conditions ([Reflections][4]).

4. **Philosophical or Model‑Completeness Issue**
Norton himself defends the dome as a legitimate thought experiment highlighting a blind spot in classical mechanics—not a real-world physical system—but a map of our models' limitations. He argues that rejecting it means rejecting the idea that Newtonian physics can produce surprising outcomes within its own framework ([Reflections][4], [sites.pitt.edu][2]).

---

### Bottom Line (tell-it-like-it-is summary)

* **Yes**, mathematicians and philosophers have explained why Norton's Dome behaves this way—it's a breakdown of uniqueness in ODEs due to non-Lipschitz behaviour and idealized assumptions.
* **No**, there's no overwhelming consensus that it "breaks physics" in practice. Most argue it's **a mathematical curiosity**—physically unrealistic, but philosophically important.
* **Determinism holds in reality**, but this exposes a fissure in the theory we use to model behaviour.

So if you're looking for a neat physical mechanism to resolve it—you won’t find one. Instead, the resolution is recognizing that the dome is telling us: *"Be careful where your assumptions and theorems fail."*

[grav]

Няма парадокс.