Задача от състезание 2010 - 10 клас

[Martin Nikovski]

Човек върви в дъждовно време със скорост [tex]v_1[/tex] и бяга със скорост [tex]v_2=2v_1[/tex].
Да представим човека като модел на гъба (която може да попива) с формата на паралелепипед с височина [tex]h[/tex]
(от краката до главата), ширина [tex]a[/tex] (от лявото до дясното рамо) и дебелина [tex]d[/tex] (в триизмерното пространство).
Нека дъждът вали само вертикално (отгоре) и скоростта на капките е [tex]u[/tex].
Количеството (обема) на дъжда, който се излива за [tex]1s[/tex] на [tex]1m^2[/tex], е [tex]g,\ \left[\frac{l}{m^2.s }\right][/tex]
Намерете количеството (обема) на дъжда, който ще намокри човека, докато той измине разстояние [tex]L[/tex], ако:
- човекът върви ([tex]v=v_1[/tex])
- човекът бяга ([tex]v=v_2=2v_1[/tex])
Кой от двата варианта (върви или бяга) е по-удачен (ще се намокри по-малко).

* Упътване: Разглеждаме намокрянето на "горната част" от човека с площ [tex]S_1=ad[/tex] И
намокрянето на "предната част" от човека с площ [tex]S_2=ah[/tex]
(тъй като той "пресреща" капките, които падат пред него).

Решение:
Обемът върху "горната част" е [tex]V=gS_1t=gad.\frac{L}{v }[/tex].
Обемът върху "предната част" е [tex]V'=gS_2.\frac{L}{u }=gah.\frac{L}{u }[/tex].
Въпросът ми е: "Как се получава това равенство за "предната част"?". Благодаря предварително!
П.П. L.e.o....

[martin.nikolov]

Времето за което ще измине пътя е [tex]\frac Lv[/tex]. Човек движещ се във вертикален дъжд е същото като неподвижен човек в дъжд който вали под наклон. Ако вали вертикално със скорост [tex]u[/tex] и хоризонтално с скорост [tex]v[/tex] то вали с наклон [tex]\frac vu[/tex]. От тук количеството дъжд за единица време върху единица площ е [tex]g\frac vu[/tex]. Следователно количеството дъжд върху предната част е [tex]S_2 g\frac vu \frac Lv[/tex].

[L.e.o]

Да но площа на падане на дъжда не е по-малка от S2, тъй като дъжда пада под ъгъл в/у тази площ?
Ako V=0, то тази площ е 0.

[martin.nikolov]

Да но площа на падане на дъжда не е по-малка от S2, тъй като дъжда пада под ъгъл в/у тази площ?
Ako V=0, то тази площ е 0.

Не разбирам тази забележка. Какво като площа не е по-малка от S2? И кой твърди, че е? За скорост нула също не го разбирам. Този екстремен случай се изключва от задачата, със скорост нула не може да се измине ненулев път L. А случай за път нула, скорост нула за време нула не е кой знае колко труден.

[Martin Nikovski]

Два въпроса:
- Какво рабирате под "наклон [tex]\frac{v}{u }[/tex]"?
- Като си направя чертеж, ми се получава, че когато вали под наклон, човекът се мокри повече (на единица площ), отколкото ако вали вертикално, което не е вярно... Защо се получава така?
Благодаря предварително!

[martin.nikolov]

Когато вали под прав ъгъл се мокри най-много, ако е под наклон по-малко. Нали в незнам кой клас казват на учениците, че през лятото е най-топло защото лъчите падат под прав ъгъл, а през зимата под по-малкък ъгъл. Същото е и с дъжда.

А наклон е наклон, тангеса на ъгъла, отношението на катетите на правоъгълния триъгълник.

[L.e.o]

Martin Nikovski,
Излиза ти така, защото под ъгъл ти излиза, че дъжда вали с по-голяма скорост: сума от векторите на скоростите на вертикално падащ дъжд и скоростта на движение на човека. Но този "по бързо валящ" дъжд пада под ъгъл и така ти излиза, че: дъжда вали с дебит g/cosa , но пък пада в/у площ S2.cosa.

[Martin Nikovski]

ОК, за първия въпрос разбрах, и аз си мислех, че ще е тангенсът...
За втория обаче... не съвсем... вероятно чертежът ми не е верен...
Според мен това, че човекът се движи със скорост [tex]v[/tex] в посока "надясно",
е еквивалентно на движение на дъжда със същата скорост "наляво".
Чертежът ми е двуизмерен, но достатъчен, за да се направят някои изводи...

Чертеж.

Drawing.jpg (11.49 KiB) Прегледано 387 пъти

Скоростта на дъжда спрямо човека е векторната сума на [tex]\vec u[/tex] и [tex]\vec{v'}[/tex], където [tex]\vec {v'}=-\vec v[/tex].
Получавам, че разстоянието, върху което би валял дъждът във вертикална посока е [tex]x=h.tg\alpha=h.\frac{v}{u }[/tex],
т.е. е по-малко от [tex]h[/tex] и оттук дебитът, когато вали под ъгъл, е [tex]g'=g.\frac{u}{v }[/tex], което е очевидно невъзможно...

[Martin Nikovski]

Виждам, че има ново мнение...
ОК, L.e.o, макар че в момента не мога да осмисля защо пада върху площ [tex]S_2.cos\alpha[/tex] (с температура съм), ако приемем, че е вярно, тогава обемът върху предната част ще е [tex]V'=\frac{g}{cos\alpha } .S_2.cos\alpha.\frac{L}{v }[/tex], което не е верният отговор...

[martin.nikolov]

Получавам, че разстоянието, върху което би валял дъждът във вертикална посока е [tex]x=h.tg\alpha=h.\frac{v}{u }[/tex],
т.е. е по-малко от [tex]h[/tex] и оттук дебитът, когато вали под ъгъл, е [tex]g'=g.\frac{u}{v }[/tex], което е очевидно невъзможно...

Защо е очевино невъзможно?

[Martin Nikovski]

Защото в конкретния случай [tex]u>v[/tex], откъдето следва, че [tex]g'=g.\frac{u}{v }>g[/tex].
Иначе казано, излиза, че върху предната стена вали повече (на квадратен метър за секунда), отколкото на горната стена...
За да получа верния отговор, е необходимо [tex]g'=g.\frac{v}{u }[/tex], а при мен е [tex]g'=g.\frac{u}{v }[/tex]
(скоростите са разменени, което коренно променя отговора ми)...

[L.e.o]

Два въпроса:
- Като си направя чертеж, ми се получава, че когато вали под наклон, човекът се мокри повече (на единица площ), отколкото ако вали вертикално, което не е вярно... Защо се получава така?
Благодаря предварително!

Еми така е, защото вали "по-бързо", но пък вали на по-малка площ.

[martin.nikolov]

Да, сега виждам, че са ти наобратно скоростите. Не бях го видял добре.

[L.e.o]

Написал съм по-горе 2 пъти cos a, което е грешно
Ето:

Вали на площ S2. sina, със скорост u/cosa, тоест със дебит g/cosa за 1 сек на кв.метър.
V = S2.sina . g/cosa . t = S2.g.t . tga = S2.g.t . v/u = S2.g.L/v . v/u = S2.g.L/u

[Martin Nikovski]

МНОГО благодаря и на двамата! Винаги е хубаво, когато има с кого да споделиш въпросите си...

[martin.nikolov]

МНОГО благодаря и на двамата! Винаги е хубаво, когато има с кого да споделиш въпросите си...

Дано не съм те объркал твърде много. Но гледам, че Л.е.о. се е справил със дебита.

[Martin Nikovski]

Не, не си, напротив... двамата се допълвахте в отговорите си и ми помогнахте да си изясня картинката..