Центробежни сили

[Martin Nikovski]

Фигура 1.

scan0003.jpg (51.68 KiB) Прегледано 716 пъти

Топче с радиус r виси на нишка с дължина [tex]L[/tex] и се опира във вертикален цилиндър с радиус [tex]R[/tex]. Цилиндърът и точката на окачване на нишката са закрепени на оста на центробежна машина (вж. фигурата). При каква ъглова скорост [tex]\omega[/tex] на системата силата на натиск на топчето върху стената на цилиндъра става равна на нула?
Благодаря предварително!
Отг.: [tex]\omega = \sqrt{\frac{g}{\sqrt{\left(L+r\right)^2-\left(r+R\right)^2}}[/tex]

[martin.nikolov]

Не би ли трябвало да е

[tex]\omega=\sqrt{\frac g{\sqrt{L^2-(r+R)^2}}[/tex]

[Martin Nikovski]

Разбира се, отговорът винаги може да е сгрешен. Ще напишеш ли как получи твоя отговор?
П.П. Предполагам, че вероятно си взел [tex]sin \alpha = \frac{r+R}{L }[/tex], всъщност е [tex]sin\alpha =\frac{r+R}{L+r }[/tex] (защото в хипотенузата се включва и радиусът на топчето).

[L.e.o]

На мен ми се получава:
[tex]sin2\alpha =\frac{r+R}{L+r }[/tex]
и
[tex]\omega=\sqrt{\frac g{(r+L)cos\alpha }}[/tex]

[martin.nikolov]

Да, мислех си, че L е разстоянието до центъра на топчето.

[Martin Nikovski]

Добре.. а може ли някой да даде метода, по който я е решил.. Интересува ме по-точно по кои оси ([tex]x,y[/tex] или [tex]\tau, n[/tex]) сте написали силите. Благодаря!

[Martin Nikovski]

L.e.o, доколкото виждам, твоят отговор се получава ако приемем, че единствената сила, действаща по оста [tex]n[/tex] (към точката на окачване), е [tex]G_n=Gcos\alpha[/tex]. Няма ли обаче и сила на опъване [tex]T[/tex]?

[L.e.o]

Първо нека разгледаме простичката задача:
Топче е окачено на нишка с дължина l и е завъртяно с ъглова скорост w.
Силите по x: Tsina = mwwx (T- сила на опън на нишката)
Силите по y: Tcosa = mg
където а е ъгълът на отклонение, а х - разтоянието до оста.
tg a = wwx/g , но х=lsina => ww = g/l.cosa
Сега нашата задача:
Системата е завъртяна. Тоест и 2те тела са завъртяни. Те са отклонени на еднакъв ъгъл, но се и допират. Образува се правоъгълен триъгълник с ъгъл при върха 2α, хипотенуза L+r и срещуположен катет R+r

[drago]

Не разбирам много от физика, но дадения отговор се получава, когато оста на въртене съвпада с оста на цилиндъра. Т.е. в случая, както казват физиците, когато масата на топчето е пренебрежимо малка спрямо масата на цилиндъра. В този случай няма много смятане- намираш с каква сила точето натиска цилиндъра и после [tex]\omega[/tex] го правиш такова, че [tex]\omega{^2}(R+r)m_{topche}[/tex] да е същото.

[L.e.o]

Не разбирам много от физика, но дадения отговор се получава, когато оста на въртене съвпада с оста на цилиндъра. Т.е. в случая, както казват физиците, когато масата на топчето е пренебрежимо малка спрямо масата на цилиндъра. В този случай няма много смятане- намираш с каква сила точето натиска цилиндъра и после [tex]\omega[/tex] го правиш такова, че [tex]\omega{^2}(R+r)m_{topche}[/tex] да е същото.

Ъгълът на отклонение при въртене не зависи от масата на завъртяният предмет.

[drago]

Leo, пишеш работи "ни в клин, ни в ръкав". Кои ти говори за ъяъла на отклонение при въртене? Става въпрос за равновесното им положение и около каква ос ще се извършва въртенето. В смисъл, че оста ще е една и съща, но взаимното положение на телата спрямо нея няма да е. Вземи например масата на цилиндъра да е равна на топчето. Тогава въртенето щв се извършва около доп. им точка т.е. с радиус [tex]r[/tex] и отговорът ще е различен, все едно да поставиш [tex]R=0[/tex] в дадения: [tex]\omega = \sqrt{\frac{g}{\sqrt{\left(L+r\right)^2-r^2}}[/tex].

[L.e.o]

"При каква ъглова скорост \omega на системата силата на натиск на топчето върху стената на цилиндъра става равна на нула?"
Това значи, че 2те тела не си взаимодействат = не се допират. Тоест, оста на въртене си остава същата.
Сега, ако w е по-малка и натиска между 2 теле вече не е нула, ще са нужни и масите на 2 тела за да определим ъгълът на отклонение. А що се отнася за оста на върте - тя пак ще си е същата: вертикала от точката на окачване.
Вярно, че във Физическият Факултет не се занимавахме много с (марко)Механика, но поне от това, което си спомням от гимназията, не смятам, че моите разсъждения са грешни.
Предполагам се подвеждаш от даденият чертеж и как на начертани детайлите. Чертежа е даден единствено да ни покажа, че дължината на нишката и дължината на цилиндъра са такива, че топчета се допира странично в цилиндъра, а не в някои от ръбовете му.


Нова задача:
Системата е завъртяна с w по-малка от критичната. Масата на цилиндъра е М, а на топчето m ( М>m).
Намерете ъгълът на отклонение на 2те тела (при въртенето).

[mkmarinov]

Ето и моето решение.
Вземаме ос у, съвпадаща с оста на цилиндъра. Ос х e перпендикулярна на у и надясно на чертежа.
В момента на откъсване на топчето му действат G i T. Т.к. то не се движи по оста у, [tex]|T_y|=|G|[/tex]. От едни подобни триъгълници, личащи добре на чертежа: [tex]\frac{T_y}{T_x}=\frac{\sqrt{(L+r)^2-(R+r)^2}}{R+r}[/tex]
[tex]T_x=\frac{R+r}{\sqrt{(L+r)^2-(R+r)^2}}mg[/tex]
[tex]a_x=\frac{R+r}{\sqrt{(L+r)^2-(R+r)^2}}g[/tex]
За да няма натиск от страна на топчето върху цилиндъра трябва да е изпълнено условието за центростремителното ускорение (въртенето е около оста на цилиндъра, ясно е че Тх е ценстростремителната) [tex]a_x=\frac{V^2}{R+r}[/tex]
[tex]V=\omega (R+r)[/tex]
Като заместим:
[tex]\frac{R+r}{\sqrt{(L+r)^2-(R+r)^2}}g=\frac{\omega ^2 (R+r)^2}{R+r}[/tex]
Откъдето се получава и [tex]\omega = \sqrt{\frac{g}{\sqrt{(L+r)^2-(R+r)^2}}}[/tex]

[L.e.o]

mkmarinov,
При твоето решение взимаш ли под внимание, че и цилиндърът се върти и е отклонен?
В условието на задачата има "При каква ъглова скорост w на системата", демек и цилиндърът е завъртян, тоест Тy не съвпада с оста на цълиндъра.

[mkmarinov]

Споменато е, че цилиндърът е вертикален. Т.е. у съвпада с оста на цилиндъра, който не е отклонен. А това че и той се върти не пречи.

[L.e.o]

Пф. Така е. Цилиндърът не се отклонява. Ама то така задачата става повече от тривиална. Все едно да се постави задачата:
Топче с радиус r e окачено на нишка с дължина L. С каква ъглова скорост трябва да завъртим топчето, че то да се отклони на разтояние R от оста на въртене?

[drago]

Leo,
по принцип абсолютно си прав. Май пак съм написал известно количество глупости
Обаче , явно който е съставял задачата не е този, който е паравил чертежа.
Сега малко майтап за физиците...
Нали знаете, за тях всички функции са гладки, които те считат еквивалентно на аналитични, и накрая, за да не си развалят кефа вземат само линейната апроксимация, щото другото е безкрайно малко от по-висок порядък
Шегувам се разбира се, но във всяка шега има...

[L.e.o]

Добре, а кои ще се пробва с:
Системата е завъртяна с w по-малка от критичната. Масата на цилиндъра е М, а на топчето m ( М>m).
Намерете ъгълът на отклонение на 2те тела (при въртенето).