Воден часовник

[pipi langstrump]

Древногръцките часовници (клепсидри) са се състояли от съд с малък отвор. Времето се отчитало по равнището на водата в съда. Каква трябва да е формата на съда, че скалата на времето да е равномерна?

[ptj]

Ако някой разклати часовника, така че вътре да се създаде водовъртеж времето ще тече по-бързо. Може опитно да го проверите с винена бутилка пълна с вода.

[kerry]

Ако бутилката е без дъно (като тази на чертежа), водовъртежа ще "забави времето".

Ако съдът е малък и трябва водата да тече в продължение на часове, тя няма да тече, а ще капе. Освен това няма да можем да пренебрегнем изпарението.

Но ако съдът е достатъчно голям, за да пренебрегнем изпарението и водата да тече, остава да приложим закона на Бернули, според който произведението от налягането и скоростта на водата не се променя.

[ptj]

Не случайно писах да пробваш. Разликата е голяма (поне за последния случай) , кой закон си изпуснал търси сам.

[kerry]

От бутилката водата изтича бавно, защото въздухът влиза бавно в нея. Като направим водовъртеж в средата се получава "тунел", през който въздуха влиза в бутилката безпрепятствено. Затова водата изтича по-бързо.

А за часовника - налягането в дъното на съда, при отвора е [tex]\rho g h[/tex]. С намаляването на височината линейно намалява и скоростта на изтичане. За да е равномерна скалата съдът трябва да е конус.

[pipi langstrump]

А за часовника - налягането в дъното на съда, при отвора е [tex]\rho g h[/tex]. С намаляването на височината линейно намалява и скоростта на изтичане. За да е равномерна скалата съдът трябва да е конус.

[L.e.o]

y = x^4

[kerry]

С намаляването на височината линейно намалява скоростта на изтичане. Следователно линейно намалява количеството течност (обем [tex]\Delta V[/tex]), който изтича за определено време [tex]\Delta t[/tex].

Но [tex]\Delta V = S.\Delta h = \pi r^2 \Delta h[/tex], където S и r са лицето и радиуса на повърхността.

Височината е пропорционална на квадрата на радиуса. Значи е параболоид.

Но не е задължително сечението да е кръгло. Може да е с произволна форма, само лицето на повърхността да намалява линейно с намаляване на височината.

Дано този път не съм писал глупости.

[L.e.o]

С намаляването на височината линейно намалява скоростта на изтичане.
...
Дано този път не съм писал глупости.

Бернули в точката на изтичане и на повърхността на водата:
[tex]p_0 + \beta gh = p_0 + \beta V^2[/tex] , β = плътността, че не намерих "ро". => [tex]V = \sqrt{gh}[/tex], което НЕ е линейна зависимост.

[pipi langstrump]

Формулата на бернули всъщност е

Условието на задачата всъщност е да се намери формата на съда така, че [tex]v_1[/tex] да е константа.

а това

y = x^4

си е чист спам

П.П. - \rho --> [tex]\rho[/tex]

[L.e.o]

Добре. Колко е крайният отговор?

[pipi langstrump]

[tex]y = ax^4[/tex]
където скоростта на спускане на горното равнище на водата се определя с формулата [tex]v = \frac{\sqrt{2ga}S}{\pi}[/tex]
S - площта на отвора

[pipi langstrump]

Или - съществуват безброй много такива съдове, които се получават от завъртането на коя да е от фамилията функции [tex]y = ax^4[/tex] около оста на симетрия. Разликата между всички тях е в скоростта на спадане на равнището.