Задача от олимпиада по физика 9 клас

[Honest]

Много ще съм ви благодарна, ако ми решите следната задача:

Еднакви n на брой резистори, всеки с електрично съпротивление R, са запоени един за друг така, че да образуват правилен многоъгълник (n-ъгълник). С омметър се мери електричното съпротивление на тази верига между различни нейни точко. Когато се мери между точки от двете страни на един резистор, омметърът измерва съпротивление R1=90 ома, а когато между точките на измерване има два резистора, омметърът измерва R2= 160 ома. Намерете:
а) броя n на резисторите
б) електричното съпротивление R на всеки един от резисторите
в) показанието R3 на омметъра, ако той измерва съпротивлението между две точки, между които има 3 резистора

[userfool]

Използува се формулата за еквивлентно съпротивление R = R1*R2/(R1+R2) при паралелно свързване.
В първия случай имаме паралелно свързани R и (n-1)*R, а във втория 2R и (n-2)*R в съответните клонове. От там имаме ситемата:
90 = R*(n-1)*R / nR
160 = 2R*(n-2)*R/nR
Делим второто на първото -> 16/9 = 2(n-2)/(n-1) или n = 10

Заместваме R в някое от горните уравнения и намираме R = 100 ома

Като има 3 резистора по формулата R = 3.100(10 - 3)*100 / 1000 = 210

[ammornil]

И при двете измервания имаме два успоредни клона от последователно свързани резистори.

При първото измерване в единия клон има един резистор, а във втория клон има (n-1) резистора. Еквивалентното съпротивление на първия клон е [tex]R [\Omega][/tex], а на втория клон е [tex](n-1).R [\Omega][/tex]. Общото съпротивление се определя от израза:
[tex]\frac{1}{R_{_{1e}}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{(n-1).R} \Longrightarrow R_{_{1e}}=\frac{R.(n-1).R}{(n-1).R+R}=\frac{(n-1).R^{2}}{n.R}=\frac{(n-1).R}{n} [\Omega][/tex],
което според Омметъра е равно на [tex]90[\Omega][/tex].

При първото измерване в единия клон има два резистора, а във втория клон има (n-2) резистора. Еквивалентното съпротивление на първия клон е [tex]2.R [\Omega][/tex], а на втория клон е [tex](n-2).R [\Omega][/tex]. Общото съпротивление се определя от израза:
[tex]\frac{1}{R_{_{2e}}}=\frac{1}{2.R}+\frac{1}{(n-2).R} \Longrightarrow R_{_{2e}}=\frac{2.R.(n-2).R}{(n-2).R+2.R}=\frac{2.(n-2).R^{2}}{n.R}=\frac{2.(n-2).R}{n} [\Omega][/tex],
което според Омметъра е равно на [tex]160[\Omega][/tex].

Система две уравнения с две неизвестни:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{(n-1).R}{n}=90 \\ \frac{2.(n-2).R}{n} =160 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} R=\frac{90.n}{n-1} \\ \frac{2.(n-2)}{n}.R=160 \end{array}
\Rightarrow \begin{array}{|l} R=\frac{90.n}{n-1} \\ \frac{2.n-4}{\cancel{n}}.\frac{90.\cancel{n}}{n-1}=160 \end{array}
\Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} R=\frac{90.n}{n-1} \\ 90.(2.n-4)=160.(n-1) \end{array}
\Rightarrow \begin{array}{|l} R=\frac{90.n}{n-1} \\ 180.n-360=160.n-160 \end{array} \Rightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} R=\frac{90.n}{n-1} \\ 20.n=200 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} R=\frac{90.10}{10-1} \\ n=10 \end{array}
\Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} R=\frac{10 \\ \cancel{90} .10}{ \cancel{9} \\ 1} \\ n=10 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} R=100 [\Omega] \\ n=10 \end{array}[/tex]

a)[tex]n=10[/tex]

б)[tex]R=100 [\Omega][/tex]

в) [tex]\frac{1}{R_{_{3e}}}=\frac{1}{3.R}+\frac{1}{(n-3).R} \Rightarrow R_{_{3e}}=\frac{3.R.(n-3).R}{3.R+(n-3).R} \Rightarrow R_{_{3e}}=\frac{3.(n-3).R^{2}}{n.R}=\frac{3.(n-3)}{n}.R=\frac{3.7}{10}.100=210 [\Omega][/tex]\begin{array}{|l} x + y = 4 \\ x - y = 0 \end{array}\begin{array}{|l} x + y = 4 \\ x - y = 0 \end{array}\begin{array}{|l} x + y = 4 \\ x - y = 0 \end{array}

[Honest]

Благодаря ви много! Сега схванах как ще стане. Ако можете да погледнеш тези задачи по-долу:

http://www.minedu.government.bg/opencms ... ka_9kl.pdf

Каквото и да ми кажете по тях ще ми е от полза.

[ammornil]

За първата задача не мога да помогна много. Капацитетът на плосък кондензатор е [tex]C=\varepsilon.\varepsilon_{_{0}}.\frac{S}{d}[/tex]. S е площта от плочите която се припокрива, а d е разстоянието между тях. В случая следва да се приеме, че останалото пространство е вакуум, тъй като няма информация за други проницаемости. За съжаление нямам спомен как се разпределяше полето (респективно капацитета), при кондензатори с повече от един диелектрик между плочите.
===---
2)a) фиг.1fa
б) [tex]U=U_{_{0}}+U_{_{1}} \Rightarrow U_{_{1}}=U-U_{_{0}}=6V[/tex]
Напрежението се разпределя пропорционално на съпротивленията в последователна верига, следователно:
[tex]\frac{U_{_{1}}}{U_{_{0}}}=\frac{R_{_{1}}}{R_{_{0}}} \Rightarrow R_{_{1}}=\frac{U_{_{1}}}{U_{_{0}}}.R_{_{0}} \Leftrightarrow R_{_{1}}=\frac{6}{12}.10 \Leftrightarrow R_{_{1}}=5 [\Omega][/tex]
-
в)фиг.1fa1
[tex]P=\frac{U^{2}}{R} \Rightarrow R_{_{\Lambda}}=\frac{U^{2}}{P} \Rightarrow R_{_{\Lambda}}=\frac{12^{2}}{6}=24[\Omega][/tex]
-
г) [tex]\frac{1}{R_{_{e}}}=\frac{1}{R_{_{0}}}+\frac{1}{R_{_{\Lambda}}}[/tex]

[tex]R_{_{e0}}=\frac{R_{_{0}}.R_{_{\Lambda}}}{R_{_{0}}+R_{_{\Lambda}}}=\frac{10.24}{10+24}=\frac{\cancel{2}.5.24}{\cancel{2}.17}=\frac{120}{17} [\Omega][/tex]
-
д) В момента имаме [tex]R_{_{e0}}=\frac{120}{17}[\Omega][/tex], [tex]R_{_{1}}=5 [\Omega][/tex],
Общото съпротивление на веригата (като се пренебрегне съпротивлението на проводниците и на източника на напрежение) е: [tex]R_{_{e}}=R_{_{e0}}+R_{_{1}}=\frac{205}{17} [\Omega][/tex].
Токът във веригата е: [tex]I=\frac{U}{R_{_{e}}}=\frac{17.18}{205}=\frac{306}{205}=1\frac{101}{205}[A][/tex]
Напрежението приложено на краищата на лампата е: [tex]U_{_{\Lambda}}=I.R_{_{e0}}=\frac{\cancel{17}.3.\cancel{6}}{\cancel{5}.41}.\frac{\cancel{5}.4.\cancel{6}}{\cancel{17}}=\frac{12}{41} [V][/tex].
Това напрежение е 41 пъти по-ниско от номиналното напрежение на лампата поради което ще свети по-слабо (ако изобщо светне )
-
е)За да бъде [tex]U_{_{\Lambda}}=12[V][/tex], падът на напрежение върху променливият резитор трябва да бъде 6V.

[tex]\frac{U_{_{2}}}{U_{_{\Lambda}}}=\frac{R_{_{2}}}{R_{_{e0}}} \Rightarrow R_{_{2}}=\frac{U_{_{2}}}{U_{_{\Lambda}}}.R_{_{e0}} \Leftrightarrow R_{_{2}}=\frac{\cancel{2}.3}{\cancel{12}}.\frac{\cancel{12}.\cancel{2}.5}{17}=\frac{15}{17}[\Omega][/tex]

[ammornil]

Задача 3 също ме обърква. Според мен при това свързване без делител на напрежение и без сериен резистор в клона на кондензатора, той ще се зареди до напрежението на източника. Тази схема евентуално може да регулира времето за зареждане но не и напрежението.

Така мисля аз. Това не означава, че съм прав..
--
а)Иначе, R ще бъде по-голямо когато [tex]R_{_{1}}[/tex] и [tex]R_{_{2}}[/tex] са свързани последователно и респективно ще е по-малко когато [tex]R_{_{1}}[/tex] и [tex]R_{_{2}}[/tex] са свързани паралелно.

б)Когато кондензаторите се свържат с едноименните си полюси напреженията им се изваждат едно от друго: [tex]|U_{_{e}}|=|U_{_{1}}-U_{_{2}}|[/tex]. Модулът е, защото имаме разлика от вектори с обща директриса. Еквивалентното напрежение ще има поляритета на по-голямото от двете напрежения.

Когато кондензаторите се свържат с разноименните си полюси напреженията им се сумират, като последователно свързани източници на напрежение: [tex]U_{_{e}}=U_{_{1}}+U_{_{2}}[/tex]. Еквивалентното напрежение ще има поляритет съпосочен с поляритета на кондензаторите.

[ammornil]

В задача 2 подточка е) [tex]R_{2}=\frac{60}{17}[/tex] а не [tex]\frac{15}{17}[/tex]

Понеже решавам направо в редактора на сайта, съм съкратил два числителя!!!

[Honest]

Благодаря ти много!

За задача първа има ли някаква вероятност първия кондензатор, при който пластината е успоредна на електродите да се представи като 3 последователно свързани кондензатора и от там да търсим капацитета ?

[ammornil]

По-скоро в случай 1а) имаме два последователно свързани кондензатора с различен диелектрик между плочите, а във втория случай имаме два успоредно свързани кондензатора с различни диелектрици между плочите.

1a) Серийно свързване:
[tex]C_{1,1}=\epsilon_{0}.\epsilon_{r}.\frac{S}{0,3.d}[/tex] [F]; [tex]C_{_{1,2}}=\epsilon_{_{0}}.\frac{S}{0,7.d}[/tex] [F]

[tex]C_{_{1,1}}+C_{_{1,2}}=\epsilon_{_{0}}.\epsilon_{_{r}}.\frac{S}{0,3.d}+\epsilon_{_{0}}.\frac{S}{0,7.d}=\epsilon_{_{0}}.\frac{S}{d}.\left(\frac{10.\epsilon_{_{r}}}{3}+\frac{10}{7}\right)=\frac{10.\epsilon_{_{0}}.S}{21.d}.(7.\epsilon_{_{r}}+3)[/tex] [F]

[tex]C_{_{1,1}}.C_{_{1,2}}=\epsilon_{_{0}}.\epsilon_{_{r}}.\frac{S}{0,3.d}.\epsilon_{_{0}}.\frac{S}{0,7.d}=\frac{\epsilon_{_{0}}^{2}.\epsilon_{_{r}}.S^{2}}{\frac{3}{10}.d.\frac{7}{10}.d}=\frac{100.\epsilon_{_{0}}^{2}.\epsilon_{_{r}}.S^{2}}{21.d^{2}}[/tex] [tex][F^{2}][/tex]

[tex]C_{1e}=\frac{C_{_{1,1}}.C_{_{1,2}}}{C_{_{1,1}}+C_{_{1,2}}}=\frac{\frac{ 10 \\ \cancel{100} .\epsilon_{_{0}}^{\cancel{2}}.\epsilon_{_{r}}.S^{\cancel{2}}}{\cancel{21}.d^{\cancel{2}}}}{\frac{\cancel{10}.\cancel{\epsilon_{_{0}}}.\cancel{S}}{\cancel{21}.\cancel{d}}.(7.\epsilon_{_{r}}+3)}=\frac{10.\epsilon_{_{0}}.\epsilon_{_{r}}.S}{d.(7.\epsilon_{_{r}}+3)}=\frac{10.\epsilon_{_{0}}.S}{d}.\frac{\epsilon_{_{r}}}{(7.\epsilon_{_{r}}+3)}[/tex] [F]

1b) Паралелна схема: нека Х% диелектрик (естествено 0<x<100) са положени между плочите по показаната схема, така че новият кондензатор има същия капацитет като този в точка а). Тогава:

[tex]C_{_{2,1}}=\epsilon_{_{0}}.\epsilon_{_{r}}.\frac{S}{\frac{x}{100}.d}=\frac{100.\epsilon_{_{0}}.\epsilon_{_{r}}.S}{x.d}[/tex] [F]; [tex]C_{_{2,2}}=\frac{100.\epsilon_{_{0}}.S}{(100-x).d}[/tex] [F]

[tex]C_{_{2,e}}=C_{_{2,1}}+C_{_{2,2}}=\frac{100.\epsilon_{_{0}}.\epsilon_{_{r}}.S}{x.d}+\frac{100.\epsilon_{_{0}}.S}{(100-x).d}=\frac{100.\epsilon_{_{0}}.S}{d}.\left(\frac{\epsilon_{_{r}}}{x}+\frac{1}{100-x} \right)=\frac{10.\epsilon_{_{0}}.S}{d}.10.\left(\frac{\epsilon_{_{r}}}{x}+\frac{1}{100-x} \right)[/tex]
----------
[tex]C_{_{1,e}}=C_{_{2,e}} \Longrightarrow \cancel{\frac{10.\epsilon_{_{0}}.S}{d}}.\frac{\epsilon_{_{r}}}{(7.\epsilon_{_{r}}+3)}=\cancel{\frac{10.\epsilon_{_{0}}.S}{d}}.10.\left(\frac{\epsilon_{_{r}}}{x}+\frac{1}{100-x} \right)[/tex] и като знаем, че [tex]\epsilon_{_{r}}=2[/tex] получаваме:

[tex]\frac{2}{(7.2+3)}=10.\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{100-x} \right) \Leftrightarrow 10.\left(\frac{2.(100-x)+x}{x.(100-x)} \right)=\frac{2}{17} \Leftrightarrow \frac{ 5 \\ \cancel{10} .(200-2.x+x)}{100.x-x^{2}}=\frac{\cancel{2}}{17}[/tex]

[tex]17.(1000-5.x)=100.x-x^{2} \Leftrightarrow 17000-85.x-100.x+x^{2}=0 \Leftrightarrow x^{2}-185.x+17000=0[/tex]

и тука сметката не излиза, защото и двата корена на това уравнение са отрицателни... нещо бъркам

[Honest]

Не мога да си обясня защо два, а не 3 ?

[ammornil]

0,3 не е равно на [tex]\frac{1}{3}[/tex]!!!

Втори опит

а) [tex]C_{_{1,1}}=\epsilon_{_{0}}.\epsilon_{_{r}}.\frac{S}{\frac{1}{3}.d}=\frac{2.\epsilon_{_{0}}.S.3}{d}=\frac{6.\epsilon_{_{0}}.S}{d}[/tex] [F]
[tex]C_{_{1,2}}=\epsilon_{_{0}}.\frac{S}{\frac{2}{3}.d}=\frac{\epsilon_{_{0}}.S.3}{2.d}=\frac{3.\epsilon_{_{0}}.S}{2.d}[/tex] [F]

[tex]C_{_{1,e}}=\frac{C_{_{1,1}}.C_{_{1,2}}}{C_{_{1,1}}+C_{_{1,2}}}=\frac{\frac{6.\epsilon_{_{0}}.S}{d}.\frac{3.\epsilon_{_{0}}.S}{2.d}}{\frac{6.\epsilon_{_{0}}.S}{d}+\frac{3.\epsilon_{_{0}}.S}{2.d}}=\frac{9.\frac{\epsilon_{_{0}}^{2}.S^{2}}{d^{2}}}{\frac{15}{2}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}}=\frac{18}{15}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}[/tex] [F]

b) 0<x<1- дял на диелектрика във втората схема, така че да има същия еквивалентен капацитет като горния.
[tex]C_{_{2,1}}=\epsilon_{_{0}}.\epsilon_{_{r}}.\frac{S}{x.d}=\frac{2.\epsilon_{_{0}}.S}{x.d}=\frac{2}{x}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}[/tex] [F]

[tex]C_{_{2,2}}=\epsilon_{_{0}}.\frac{S}{(1-x).d}=\frac{1}{1-x}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}[/tex] [F]

[tex]C_{_{2,e}}=C_{_{2,1}}C_{_{2,2}}=\frac{2}{x}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}+\frac{1}{1-x}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}=\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{1-x} \right).\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}=\frac{2.(1-x)+x}{x.(1-x)}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}[/tex]

[tex]C_{_{2,e}}=\frac{2-x}{x.(1-x)}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}[/tex] [F]
--
[tex]C_{_{1,e}}=C_{_{2,e}}[/tex]

[tex]\frac{18}{15}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}=\frac{2-x}{x.(1-x)}.\frac{\epsilon_{_{0}}.S}{d}[/tex]

[tex]18.x.(1-x)=15.(2-x) \Leftrightarrow 18.x-18.x^{2}=30-15.x \Leftrightarrow -18.x^{2}+33.x-30=0[/tex]

[tex]18.x^{2}-33.x+30=0 \Leftrightarrow x_{_{1,2}}=\frac{33 \pm \sqrt{33^{2}-4.18.30}}{2.18}[/tex] и пак няма решения...

[Honest]

Ама то и 0,2 не е равно на 1/3

По дяволите нищо не разбирааааам!


Обаче искам да ги разбера тия работи. Препоръчай ми сборник нещо за решаване на задачи. Или не знам - препоръчай ми нещо.

[userfool]

В първия случай имаме два последователно свързани кондензатора тоест за кондензатора 1/C1 = 1/C11 + 1/C12

За C11 имаме 2ε*3S/d, защото специфичната елктропороводимост е 2. За C12 имаме ε*3S/2d. От там C1 = 6/5* ε*S/d


При второто свързване имаме успоредни два кондензатора и общия капацитет е сумата им: C2 = C21 + C22

Нека x е частта покрита от S. От там: C21 = 2ε*X.S/d, а C22 = ε*(1 - X)*S/d.
Като ги съберем C2 = (1+X) *ε*S/d
Понеже искаме C1 = C2 имаме 6/5* ε*S/d = (1+X) *ε*S/d.

ε,S и d се съкращават и следва 6/5 = ( 1+ X ) или X = 0.2, тоест 20%

[ammornil]

Точно там ми беше грешката, във втория случай имаме части от S, а не от d.