Система

[Гост]

Да се реши системата уравнения [tex]\begin{tabular}{|l}\frac{x-\sqrt{x^2-y^2} }{ x+\sqrt{x^2-y^2} }=x \\\frac{x}{y }=\sqrt{\frac{1+x}{ 1-y} } \end{tabular}[/tex]

[Гост]

[tex]y\not \in \{ 0,1, \pm x}[/tex]
[tex]\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{x+\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{\frac{x}{y}-\sqrt{(\frac{x}{y})^2-1}}{\frac{x}{y}+\sqrt{(\frac{x}{y})^2-1}}[/tex]
Полагаме, [tex]\frac{x}{y}=t[/tex]
[tex]x=\frac{t-\sqrt{t^2-1}}{t+\sqrt{t^2-1}}=(t-\sqrt{t^2-1})^2=2t^2 -1-2t\sqrt{t^2-1}[/tex]
[tex]t=\sqrt{\frac{1+x}{1-y}}\Rightarrow t^2(1-y)=1+x[/tex]
Първото във второто
[tex]t^2(1-y)=2t(t-\sqrt{t^2-1})[/tex]
Ако [tex]t=0\Rightarrow x=0\Rightarrow x=-1[/tex] (от 2рото оригинално уравнение). Значи не може.
Делим на [tex]t[/tex]:
[tex]t(1-y)=2(t-\sqrt{t^2-1})\Rightarrow 1-y=\frac{2(t-\sqrt{t^2-1})}{t}\Rightarrow y=1-\frac{2(t-\sqrt{t^2-1})}{2}=\frac{2-2t+2\sqrt{t^2-1}}{2}[/tex]
Делим [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]
[tex]\frac{2t^2 -1-2t\sqrt{t^2-1}}{\frac{2-2t+2\sqrt{t^2-1}}{2}}=t\Leftrightarrow 2t^2-1-2t\sqrt{t^2-1}=\frac{2t-2t^2+2t\sqrt{t^2-1}}{2}\Leftrightarrow 4t^2-2-4t\sqrt{t^2-1}=2t-2t^2+2t\sqrt{t^2-1}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 6t\sqrt{t^2-1}=6t^2-2t-2[/tex]
и не стана

[ева]

Решавам с-та чрез заместване,получавам един отговор: ([tex]\frac{1}{4}[/tex];[tex]\frac{1}{5}[/tex])

[ева]

Ще работя в/у второто ур-е. [tex]\frac{х}{у}[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{1+х}{1-у}}[/tex] Д.М. у[tex]\ne[/tex]0, у[tex]\ne[/tex]1,ху[tex]\ge[/tex]0 (1)

[tex]x^{2}[/tex](1-у)=[tex]у^{2}[/tex](1+х) ; (1-у)[tex]x^{2}[/tex]-[tex]у^{2}[/tex]х-[tex]у^{2}[/tex]=0 ; D=[tex]у^{4}[/tex]+4[tex]у^{2}[/tex](1-у)=[tex]у^{2}[/tex]([tex]у-2)^{2}[/tex]

[tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{у^{2}\pm/у(у-2)/}{2(1-у)}[/tex]

[tex]x_{1 }[/tex]=[tex]\frac{2у^{2}-2у}{2(1-у)}[/tex]=-у отпада поради (1)

[tex]x_{2 }[/tex]=[tex]\frac{у^{2}-у^{2}+2у}{2(1-у)}[/tex]=[tex]\frac{у}{1-у}[/tex] (2) зам.в първото ур-е

[tex]\frac{у}{1-у}[/tex]-[tex]\sqrt{\frac{у^{2}}{(1-у)^{2}}-у^{2}}[/tex]=[tex]\frac{у}{1-у}[/tex][[tex]\frac{у}{1-у}[/tex]+[tex]\sqrt{\frac{у^{2}}{(1-у)^{2}}-у^{2}}[/tex] ] ...

5[tex]у^{2}[/tex]-6у+1=0 ;D=9-5=4 ; [tex]у_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{3\pm2}{5}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]у_{1 }[/tex]=1 [tex]\notin[/tex]Д.М. [tex]у_{2 }[/tex]=[tex]\frac{1}{5}[/tex] зам.в (2)

х=[tex]\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex]

отг. ([tex]\frac{1}{4}[/tex];[tex]\frac{1}{5}[/tex])