Система

[magi_066]

Да се намерят всички цели числа [tex]x ; y ; u ; v[/tex],които удолетворяват системата
[tex]|ux-vy=2[/tex]
[tex]|vx+uy=2[/tex]

[martin123456]

повдигаме и двете уравнения на квадрат и ги събираме (това не е еквивалентна трансформация, така че после ще правим проверка)
[tex]u^2x^2+v^2y^2+v^2x^2+u^2y^2=8[/tex]
[tex](x^2+y^2)(u^2+v^2)=8[/tex]
имаме следните 4 случая
а) [tex]x^2+y^2=1 \cap u^2+v^2=8[/tex]
b) [tex]x^2+y^2=2 \cap u^2+v^2=4[/tex]
c) [tex]x^2+y^2=4 \cap u^2+v^2=2[/tex]
d) [tex]x^2+y^2=8 \cap u^2+v^2=1[/tex]

обсъждаме уравнението [tex]a^2+b^2=a[/tex], [tex]a=1,2,4,8[/tex]
нататък просто разглеждаме получените възможности и заместваме
за уравнението
1) [tex]a^2+b^2=1[/tex]=>или [tex](0,1)[/tex] или [tex](1,0)[/tex] => 4 решения [tex](0, \pm 1)[/tex], [tex](\pm 1, 0)[/tex]
2) [tex]a^2+b^2=2[/tex]=>[tex](1,1)[/tex]=> 4 решения [tex](\pm 1, \pm 1)[/tex], [tex](\pm 1,\mp 1)[/tex]
3) [tex]a^2+b^2=4[/tex]=>[tex](0,2)[/tex], [tex](2,0)[/tex], нататък аналогично
4) [tex]a^2+b^2=8[/tex]=>няма решение