Система-нгс

[magi_066]

Нека [tex](x;y)[/tex]са решения на системата
[tex]|3x+y=\alpha+2[/tex]
[tex]|9a^{2}+y^{2}=5\alpha-2[/tex]
При кои стойности на [tex]\alpha[/tex] произведението [tex]xy[/tex] приема НГС?

[dim]

А [tex]a[/tex] във второто у-е какво е? Сигурно имаш впредвид с-та:
[tex]|3x+y=\alpha+2[/tex]
[tex]|9x^{2}+y^{2}=5\alpha-2[/tex]

Повдигаме първото на квадрат и изваждаме второто от първото:

[tex]|9x^2+y^2+6xy=\alpha^2+4\alpha+4[/tex], [tex](1)[/tex]
[tex]|9x^{2}+y^{2}=5\alpha-2[/tex], [tex](2)[/tex]

[tex](1)-(2)=9x^2+y^2+6xy-9x^{2}-y^{2}=\alpha^2+4\alpha+4-5\alpha+2[/tex]<=> [tex]6xy=\alpha^2-\alpha+6[/tex]<=>
<=> [tex]xy=\frac{\alpha^2-\alpha+6}{6}[/tex]. Ясно е, че [tex]xy[/tex] приема най-малка стойност когато [tex]f(\alpha)=\alpha^2-\alpha+6[/tex] приема най-голяма ст. [tex]f'(\alpha)=2\alpha-1=0[/tex], [tex]\alpha=\frac{1}{2}[/tex]

[naitsirk]

при [tex]\alpha =\frac{1}{2 }[/tex], xy има най-малка стойност. Предполагам, че се търси най-голяма стойност на xy при реални x и y, от където ще дойде ограничение за алфа

[dim]

Да прав си, оплескал съм работата - така став като човек се опитва да прави мн неща едновременно... [tex]\alpha=\frac{1}{2}[/tex] даже не е сред ДМ на [tex]\alpha[/tex]. Иначе задачата наистина се решава както ти каза и се получава затворен интервал за [tex]\alpha[/tex] и лесно се намира НГС, но сега нямам време да го оправям. Извинявам се ако съм подвел някой...

[dim]

За да се прикючи темата и за да поправя грешката си ще на пиша моето решение. Използвам резултата който получих [tex]xy=\frac{\alpha^2-\alpha+6}{6}[/tex], нека [tex]xy=p[/tex] за по-кратко. Тогава , [tex]y=\frac{p}{x}[/tex], [tex]x\ne 0[/tex]. Сега като заместим в [tex](1)[/tex] получаваме: [tex]3x+\frac{p}{x}=\alpha+2[/tex], [tex]3x^2-(\alpha+2)x+p=0[/tex] => [tex]D\ge 0[/tex], [tex](\alpha+2)^2-12.(\frac{\alpha^2-\alpha+6}{6})[/tex]<=> [tex]\alpha^2-6\alpha+8\le 0[/tex]=> [tex]\alpha\in [2,4][/tex], т.е. [tex]\alpha[/tex] не може да приема стойност по-голяма от [tex]4[/tex]. Сега решаваме с-та за [tex]\alpha=4[/tex] и установяваме, че има реални решения за [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]. Понеже [tex]xy=f(\alpha)=\frac{\alpha^2-\alpha+6}{6}[/tex], e растяща в интервала [tex][2,4][/tex], то тя приема НГС за [tex]\alpha=4[/tex], т.е. НГС[tex](xy)=f(4)=3[/tex].