Система параметрични уравнения

[didi_879]

За кои стойности на параметъра m системата има 1 решение. Решете получената система
x-y=(xy+1)m
x+y + xy + 2=0

[math10.com]

[tex]xy=t[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}x-y=(xy+1)m\\x+y+xy+2=0 \end{tabular}[/tex]

[tex]=>x=\frac{(xy+1)m-xy-2}{2}=\frac{(t+1)m-t-2}{2}[/tex] Получава се след събиране на 2-те уравнения

[tex]=>y=\frac{-(xy+1)m-xy-2}{2}=\frac{-(t+1)m-t-2}{2}[/tex] Получава се след изваждане на 2-те уравнения

Сега умножаваме 2-те новополучени и получаваме:

[tex]xy=t=\frac{(t+1)m-t-2}{2}.\frac{-(t+1)m-t-2}{2} ; =>t^2(1-m^2)-2tm^2+4-m^2=0[/tex]

Системата има 1 решение ако [tex]t[/tex] е единствено т.е. когато дискриминантата е 0

[tex]D=4m^4-4(1-m^2)(4-m^2)=4(5m^2-4) =0 ; =>m=\pm \frac{2\sqrt{5}}{5} ; t=4[/tex]

[tex]x=\frac{(t+1)m-t-2}{2}=\frac{5.(\pm \frac{2\sqrt{5}}{5})-6}{2}=\pm \sqrt{5}-3[/tex]

[tex]y=\frac{-(t+1)m-t-2}{2}=\frac{-5.(\pm \frac{2\sqrt{5}}{5})-6}{2}=\mp \sqrt{5}-3[/tex]

[pal702004]

[tex]t^2(1-m^2)-2tm^2+4-m^2=0[/tex]

Системата има 1 решение ако [tex]t[/tex] е единствено т.е. когато дискриминантата е 0

Или когато уравнението е линейно.

[math10.com]

Съвсем уместна забележка....

Трябва да се добави към решението и:

[tex]m^2=1 ;=>m=\pm 1 ; =>t=\frac{3}{2}[/tex]

[tex]x=-\frac{1}{2} ; y=-3[/tex] ,за [tex]m=1[/tex] или [tex]x=-3 ; y=-\frac{1}{2}[/tex] ,за [tex]m=-1[/tex]

[kmitov]

Системата има 1 решение ако [tex]t[/tex] е единствено т.е. когато дискриминантата е 0

[tex]D=4m^4-4(1-m^2)(4-m^2)=4(5m^2-4) =0 ; =>m=\pm \frac{2\sqrt{5}}{5} ; t=4[/tex]

[tex]x=\frac{(t+1)m-t-2}{2}=\frac{5.(\pm \frac{2\sqrt{5}}{5})-6}{2}=\pm \sqrt{5}-3[/tex]

[tex]y=\frac{-(t+1)m-t-2}{2}=\frac{-5.(\pm \frac{2\sqrt{5}}{5})-6}{2}=\mp \sqrt{5}-3[/tex]

Ами не излиза ли че когато t е единствено решенията на системата са 2? Или аз нещо не съм разбрал.

[math10.com]

.............

Ами не излиза ли че когато t е единствено решенията на системата са 2? Или аз нещо не съм разбрал.

Не си разбрал.
Системата има единствено решение, за всяка възможна стойност на параметъра.
Имаме 4 възможни стойности за [tex]m[/tex] и съответно 4 възможни решения за [tex]x,y[/tex]

[kmitov]

Да, сетих се, сгрешил съм.