Зад. за моделиране

[4okoboko]

ЗАДАЧА: По окръжност с дължина 60 метра, равномерно и в една посока, се движат две точки. Едната точка прави пълна обиколка за 5 секунди по-бързо от другата и я догонва всяка минута. Определете скоростта на точките.
Така, 1-во да напиша означенията: Скоростта на първата топка е равна на v1
Времето за изминаване на една обиколка от първата топка = t,
Скоростта на втората топка е равна на v2.
Пътят S е равен на 60м.
Неизвестните са 3, следователно ни трябва система от 3 уравнения.
1-вото уравнение е ясно: v1.t=60 (скоростта на 1-вата топка, умножена по времето за 1 обиколка е равна на 60 метра)
2-рото уравнение е: v2(t-5)=60 (скоростта на 2-рата топка, умножена по времето, за което прави обиколка = 60метра)
Следва 3-тото уравнение.Тук нещо бъркам, защото не ми се получава отговорът, изрази ли се това уравнение, задачата е решена. Така, знаем, че втората топка е по-бърза (така е според означенията, които съм направил), и прави обиколка за 5 секунди по- малко, следователно прави втората обиколка за 10 секунди по малко, 4-тата- за 20 секунди и 12-тата обиколка за 1 минута по-малко. Тоест, след като измине първата минута, втората топка ще е с 1 минута преднина, но както знаем от условието, всяка минута втората топка догонва първата, от това следва, че след 12 обиколки на 1-вата топка, 2-рата топка ще е направила 13 обиколки. Времето за 12 обиколки на първата топка е v1t=60 |.12 -----> v1.12t=720m ( топка 1 със скорост v1 изминава 720 метра за време 12t) , но знаем и че топка 2 за същото време прави 13 обиколки -----> v2.12t=780m (скоростта на топка 2 по време 12t = 780 метра).Правя системата и се получава, че v2=1, а отговорът е 3м/сек и 4м/сек.Ако може да ми кажете в кое уравнение съм допуснал грешка.(зад. за knowledge).

[monika_at]

Чоко скоростите са добре изразени. От тях=>[tex]v_1=\frac{60}{t } ; v_2=\frac{60}{ t-5}[/tex]

Топките започват от една и съща позиция върху окръжността и по-бързата прави една пълна обиколка и догонва втората за 60 мин. Нека с х означим пътя, който прави по-бавната от тръгването си до моментът, в който по-бързата я настига. Тогава пътят на по-бързата ще е 60+х (увеличен с дължината на окръжността). Тогава:
[tex]s_1=\frac{60}{t }. 60; s_2=\frac{60}{ t-5}. 60=>=\frac{60}{ t-5}. 60=60+\frac{60}{t }. 60[/tex]

След опростяване, получаваме: [tex]t^2-5t-300=0=>t_1=-15<0; t_2=20>0[/tex].Заместваме в скоростите и получаваме:
[tex]v_1=3m/s; v_2=4m/s[/tex]

[4okoboko]

Добре, аз къде съм сбъркал, та не ми се получава?

[Knowledge Greedy]

В третото уравнение трябва просто да използваш разликата на двете скорости
[tex](v_2-v_1)t_0=60[/tex]

И понеже времето за догонване е [tex]t_0=1 min = 60 sec[/tex] , то [tex](v_2-v_1).\cancel{60}=\cancel{60}^1[/tex]
Значи [tex]v_2-v_1=1[/tex] [m/s]
Това ми се струва, че е трябвало да си намерил с разсъжденията си при построяването на третото уравнение

...Следва 3-тото уравнение.... Така, знаем, че втората топка е по-бърза (така е според означенията, които съм направил), и прави обиколка за 5 секунди по- малко, следователно прави втората обиколка за 10 секунди по малко, 4-тата- за 20 секунди и 12-тата обиколка за 1 минута по-малко. Тоест, след като измине първата минута, втората топка ще е с 1 минута преднина, но както знаем от условието, всяка минута втората топка догонва първата, от това следва, че след 12 обиколки на 1-вата топка, 2-рата топка ще е направила 13 обиколки. Времето за 12 обиколки на първата топка е v1t=60|.12 -----> v1.12t=720m ( топка 1 със скорост v1 изминава 720 метра за време 12t) , но знаем и че топка 2 за същото време прави 13 обиколки -----> v2.12t=780m (скоростта на топка 2 по време 12t = 780 метра).Правя системата и се получава, че v2=1, а отговорът е 3м/сек и 4м/сек.Ако може да ми кажете в кое уравнение съм допуснал грешка...

Грешка в подчертаното - пишеш време, а изравняваш разстояния. След това умножаваш по време и ... какво получаваш?!
И още нещо, тук времето за настигане е [tex]t_0 =60[/tex] секунди, не го бъркай с неизвестното [tex]t,[/tex] което използваме при изразяването на скоростта - както го е направила monika_at.

Така системата е
[tex]\left|\begin{matrix}
v_1=\frac{60}{t } \\
v_2=\frac{60}{t-5 }\\
(v_2-v_1).60=60
\end{matrix}\right[/tex]

Разсъжденията ти са много добри, само не прекалявай с количеството на задачите, почивай си от време на време и също така от време на време се връщай към някои от задачите, които си решил и са те затруднили.
Ще видиш, че нещата са много лесни, много очевидни и нещо, което си могъл да направиш със система, след това ще можеш да го направиш с едно уравнение.

[4okoboko]

ааа, да, аз съм смятал, че след 12 обиколки едната топка ще е с 1 минута пред другата, но това не означава че е минало само 1 минута, така че до 12-тата обиколка е минало много повече време. Ако бях по-умен , щях да видя отговора, че е 3м/с и 4м/с и да си направя уравнението от отговора и да сметна, че 3м/сек = 60м/20 сек, следователно 1 обиколка за 20 секунди минава и 12 обиколки за 240 секунди тоест са минали 4 минути не 1. Мерси за решението.