Системи с полагане и допълване до точен квадрат

[cantbetamed]

Не мога да реша 3, 4 и9 задача

[kmitov]

9 . задача.

I уравнение:
[tex]x^2+y^2+xy=37[/tex]

II уравнение:
[tex]x^4+y^4+(xy)^2=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+x^2y^2=(x^2+y^2)^2-(xy)^2=481[/tex]

Полагаме [tex]x^2+y^2=u, xy=v[/tex] и получаваме системата:

[tex]u+v=37[/tex]

[tex]u^2-v^2=481[/tex]

Понеже 481=37.13 то второто уравнение става

[tex]u-v=13[/tex]

Така системата е

[tex]u+v=37[/tex]

[tex]u-v=13[/tex]

Демек [tex]u=25, v=12[/tex]

Сега за [tex]x, y[/tex] имаме

[tex]x^2+y^2=25[/tex]

[tex]xy=12[/tex]

Решенията са [tex](3,4), (4,3), (-3,-4), (-4,-3)[/tex]

[kmitov]

в трета първото уравнение можем да напишем така:

[tex]3y^2-2x+3+3\sqrt{3y^2-2x+3}-18=0[/tex].

Полагаме [tex]\sqrt{3y^2-2x+3}=z \ge 0[/tex]

и става

[tex]z^2+3z-18=0[/tex] корените са -6 и 3.

Така първото уравнение преобразуваме в

[tex]\sqrt{3y^2-2x+3}=3[/tex]

или

[tex]3y^2-2x+3=9[/tex]

Това заедно с второто ти е нова система със същите решения.

[cantbetamed]

Благодаря много!

[MENKA]

За 4 зад.положете един от квадратите на u,други е 1/u-това в първото уравнение.Така ще намерите съотношение между х и у и го замествате във второто уравнение.

[cantbetamed]

А защо в зад.9 не се налага да праеим проверка за стпйностите на u,ккакто се налага при ирационалните уравнения?

[MENKA]

Когато решавате система,където участва корен квадратен,е необходимо отговорът на този корен квадратен да е положително число или 0.Напр. ,както виждам в 10 зад-полагате √х/y=u,където u≥0