Система - СУ

[naitsirk]

Ето една хубава задача (поне според мен) за всички кандидатстващи:
Данена е системата:
[tex]3x^2-8xy-3y^2=\frac{10a-a^2}{4a^2+9 }[/tex]
[tex]x^2-5xy+6y^2=\frac{10-a}{4a^2+9 }[/tex]

За кои [tex]a[/tex] системата има решение [tex](x;y)[/tex], такова че [tex]x\le 0[/tex], [tex]y>0[/tex].
За намерените [tex]a[/tex] да се определи НМС и НГС на израза [tex]x^2+y^2[/tex].

Задачата е от изпит в НПМГ за кандидатстване в СУ (1999 г.).
Задачата си заслужава, така че не я подминавайте с лека ръка (Изпита наближава ).

(Не знам как се прави знак за система на LaTeX, ама не е това важното в случая )

[martosss]

Засега получавам [tex]a\in \left[-\frac{1}{2}\: ;\: 3\right)[/tex], но по-късно ще изследвам НМС и НГС и ще напиша подробно решение(или поне разширено упътване).
А задачата е хубава, кефят отговорите.

[naitsirk]

Не си спомням аз какви отговори получавах,но най-важното е да забележим, че ако (x;y) е решение, то и (-x;-y) е решение. Т.е търсим за кои а х и y са с различни знаци. Получава се квадратно у-ние спрямо x/y и щом те трябва да са с различни знаци търсим за кои a това уравнение има поне един отрицателен корен. После като намерим колко е x/y се връщаме в уравненията и намираме колко са [tex]x^2[/tex] и [tex]y^2[/tex]

[martosss]

Вечерта ще напиша решение по моя начин -без много изследване, просто съобразявайки се с условието x?0, y>0, тези двете доста помагат.