Системи уравнения

[Румба789]

Някой може ли да ми помогне със следните задачи
x^{3}+y^{3}=35
x^{2}y+xy^{2}=30

x^{3}-x^{2}=19
x-y=1

x^{2}+x^{2}=[tex]\frac{5}{2}[/tex]xy
x-y=[tex]\frac{1}{4}[/tex]xy

[Knowledge Greedy]

[tex]\begin{array}{|l}x^{3}+y^{3}=35 \\ x^{2}y+xy^{2}=30 \end{array}[/tex]
Решение:
[tex]\begin{array}{|l} (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=35 \\ xy(x+y)=30 \end{array}[/tex]
Делим почленно (защо е възможно )
[tex]\frac{\cancel {(x+y)}(x^{2}-xy+y^{2})}{ xy \cancel {(x+y)}}=\frac{35}{30}[/tex]
Съкращаваме още
[tex]\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{ xy }=\frac{7}{6}[/tex]
Разделяме лявата страна на отделни събираеми
[tex]\frac{x^2}{xy}-\frac{xy}{xy}+\frac{y^2}{xy}=\frac{7}{6}[/tex]
съкращаваме още
[tex]\frac{x}{y}-1+\frac{y}{x}=\frac{7}{6}[/tex]
полагаме
[tex]\frac{x}{y}=u[/tex]
Получаваме дробно уравнение с едно неизвестно
[tex]u+\frac{1}{u}-\frac{13}{6}=0[/tex]
което става квадратно
[tex]6u^2-13u+6=0[/tex]
и с корени
[tex]u_1=\frac{2}{3}[/tex] и [tex]u_2=\frac{3}{2}[/tex]
Връщаме полагането един път като [tex]x =\frac{2}{3}y[/tex] и втори път като [tex]y =\frac{2}{3}x[/tex]
Остава да решим двете системи [tex]\begin{array}{|l} x^{3}+y^{3}=35 \\ x =\frac{2}{3}y \end{array}[/tex]
и
[tex]\begin{array}{|l} x^{3}+y^{3}=35 \\ y =\frac{2}{3}x \end{array}[/tex]
и да запишем решенията - отговор на задачата
[tex]\begin{array}{|l} x_1 = 2 \\ y_1 = 3 \end{array}[/tex] и [tex]\begin{array}{|l} x_2 = 3 \\ y_2 = 2 \end{array}[/tex]

Втората е направена така, че да се реши отново с почленно деление.

Третата система
[tex]\begin{array}{|l} x^{2}+x^{2}= \frac{5}{2}xy \\ x - y = \frac{1}{4}xy \end{array}[/tex]
ще запишем така
[tex]\begin{array}{|l} (x-y)^{2}+2xy= \frac{5}{2}xy \\ xy=4(x - y) \end{array}[/tex]
Още опростяваме първото уравнение
[tex]\begin{array}{|l} 2(x-y)^{2}-xy= 0 \\ xy=4(x - y) \end{array}[/tex]
Заместваме от второто [tex]xy[/tex] в първото с [tex]4(x - y)[/tex], което означаваме с [tex]t[/tex]

[tex]2(x-y)^{2}-4(x-y)= 0 \,\ \Leftrightarrow \,\ t^2-2t=0 \,\ \Rightarrow \,\ \begin{array}{|l} t_1=0 \\ t_2=2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{cases} x=y \\ x=y+2 \end{cases}[/tex]
и решаваме двете системи
[tex]\begin{array}{|l} xy=4(x - y) \\ x =y \end{array}[/tex]
и
[tex]\begin{array}{|l} xy=4(x - y) \\ x =y+2 \end{array}[/tex]

[Румба789]

Благодаря много!