Системи уравнения

[Sunshine55]

$\begin{array}{|l} x^{2} + y^{4} = 20 \\ x^{4} - x^{2} = 20 \end{array}$

[tex]\begin{array}{|l} \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} = 18 \\ x + y = 12 \end{array}[/tex]

$\begin{array}{|l} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \\ x + y = 10 \end{array}$

[Knowledge Greedy]

Всяка от задачите се решава с полагане.
А първата може и със заместване

[tex]\begin{array}{|l} x^{2}+y^{4}=20 \\ x^{4}+y^{2}=20 \end{array}[/tex]

но числото 20 отдясно подсказва да извадим двете уравнения
[tex]x^{2}+y^{4} - x^{4}-y^{2}=20-20[/tex]
Групираме в лявата страна
[tex]\left ( x^{2}-y^{2} \right )- \left ( x^{4}-y^{4} \right )=0[/tex]
Разлагаме лявата страна на множители

[tex]\left ( x^{2}-y^{2} \right )- \left ( x^{2}-y^{2} \right ) \left ( x^{2}+y^{2} \right )=0[/tex]
[tex]\left ( x^{2}-y^{2} \right ) \left ( 1-x^{2}-y^{2} \right )=0[/tex]
След което разглеждаме двете възможности
[tex]x^{2}=y^{2}[/tex] - с едно от уравненията на дадената система
и
[tex]1-x^{2}-y^{2} =0[/tex] - също с едно от уравненията на дадената система.

[Nathi123]

2. зад. [tex]\begin{array}{|l} \frac{x^{3} + y^{3}}{xy} =18 , x,y\ne0 \\ x + y = 12 \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} \frac{(x + y) [(x+y)^{2}-3xy]}{xy}= 18 \\ x + y = 12 \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] \begin{array} {|l}\frac{12(144-3xy)}{xy} = 18 \\ x + y = 12\end{array} [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} xy=32 \\ x + y = 12 \end{array}[/tex] Системата се решава със заместване например x=12 - y .
Отг. ( 4,8); (8,4).
3.зад. Нека [tex]\sqrt{\frac{x}{y}}=t \Rightarrow t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}\Leftrightarrow 2t^{2}-5t+2=0\Leftrightarrow t=2\cup t=\frac{1}{2}\Rightarrow
\frac{x}{y}=4\cup \frac{x}{y}=\frac{1}{4}\Rightarrow\begin{array}{|l} \frac{x}{y} = 4 \\ x +y =1 0 \end{array}\cup\begin{array}{|l} \frac{x}{y} = \frac{1}{4} \\ x + y = 10 \end{array}[/tex]