Система с 3 неизвестни

[Mr.G{}{}Fy]

Да се реши системата:
[tex]\begin{array}{|l} x = \frac{2}{1 + \sqrt{y}} \\y = \frac{2}{1 + \sqrt{z}} \\ z = \frac{2}{1 + \sqrt{x}}\end{array}[/tex]

[ptj]

(*) [tex]\begin{array}{|l} x(1+\sqrt{y}) =2 \\y (1+\sqrt{z})= 2 \\ z(1+\sqrt{x}) = 2\end{array}[/tex]
Да допуснем, че измежду 3-те пожителни числа няма две равни, т.е. [tex]x>y>z[/tex].
Тогава очевидно

[tex]\begin{array}{|l} x>y>0 \\ \sqrt{y}>\sqrt{z}>0\end{array} \Rightarrow x(1+\sqrt{y}) >y (1+\sqrt{z})[/tex]

Последното не отговаря на условията на основната система (*) , т.е. допускането ни е невярно,
сл. поне две от числата [tex]x,y,z[/tex] са равни.

Нека [tex]x=y[/tex], тогава първото уравнение на (*) ще придобие вида [tex]x(1+\sqrt(x))=2\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)=0 \Rightarrow x=y=1 \Rightarrow z=1[/tex]

[pal702004]

Да, да предположим, че $x<1$
Тогава от първото уравнение имаме $y>1$, тогава от второто $z<1$, но тогава от третото $x>1$ - противоречие.
Същите разсъждения минават за система с $2k+1$ уравнения (и неизвестни) от този вид.

[Mr.G{}{}Fy]

Супер, благодаря много и на двамата.