Система с параметър

[KrasiSh]

Здравейте, ще се радвам ако получа помощ.
За кои стойности на параметъра а, системата има три реални решения?

[tex]\begin{array}{|l} x - y^{2} = а \\ x^{2} + y^{2} = 25 \end{array}[/tex]

[ptj]

Второто е уравнение на окръжност, а първото може да се смени с квадратното уравнение [tex]f(x)=x^2+x-25-a=0[/tex].

Системата има точно 3 решения когато от двете перпендикулярни на абцисата прави (минаващи през решенията на квадратното уравнение), едната е допирателна за окръжността, а другата я пресича.

Т.е. единия корен на квадратното уравнение да е [tex]+5[/tex] или [tex]-5[/tex], а другия да е от интервала [tex](-5;5)[/tex].



I-ви сл.) [tex]f(5)=5-a=0 \Leftrightarrow a=5[/tex]
Центъра на параболата за [tex]f(x)=0[/tex] е в [tex]\frac{-1}{2}[/tex], а втория корен ще е [tex]-6[/tex], защото [tex]\frac{-6+5}{2}=\frac{-1}{2}[/tex].
Т.е. системата ще има едно решение.

II-ри сл.) [tex]f(-5)=-5-a=0 \Leftrightarrow a=-5[/tex]
Абсолютно аналогично на предния случай втория корен ще е [tex]4[/tex] и тъй като [tex]-5<4<5[/tex], то системата ще има точно 3 решения.

Отговор: [tex]а=-5[/tex]

[Davids]

Под "три реални решения" разбирам три двойки реални решения.



Забелязваме, че $y$ участва само на втора степен в системата, следователно можем да положим $t = y^2 > 0$ такова, че за всяко $t > 0$ ние ще имаме по две стойности на $y$, респективно $y = \pm \sqrt{t}$.

Системата придобива вида [tex]\begin{array}{|l} x - t = a \\ x^2 + t = 25 \end{array}[/tex]
Събираме почленно и получаваме квадратно за х: $x^2 + x - (25 + a) = 0$

Знаем, че за всички $t > 0$ двойките решения ще са четен брой и остава да проверим какво се случва при $t = 0 \Rightarrow y = 0$.

Тогава $x = a = \pm 5$. Имаме две потенциални стойности, проверяваме дали ще получим още по едно валидно решение на $x$ oт всяка от тях, така че да получим после и второ $t > 0$, за да можем да достигнем до още две нови стойности на $y$ и двойките решения да станат общо 3. Проверяваме:
I) При $a = 5$ след заместване в квадратното имаме $x^2 + x - 30 = 0$, на което решения са $x_1 = -6; x_2 = 5$, като за втория корен вече знаехме, интересуваше ни $-6$. Само че в този случай при $x = -6$ получаваме $t = -11$, което води до липса на търсените ни допълнителни две стойности на $y$ и така единствена двойка при $a = 5$ остава $(5; 0)$. Не ни устройва.
II) При $a = -5$ след заместване достигаме до $x^2 + x - 20 = 0$, корени са съответно $x_1 = -5$ (за който знаехме) и $x_2 = 4$. Хващаме се да заместим с $4$ и получаваме вече $t = 9$, което веднага ни дава в този случай още две стойности: $y = \pm 3$. И така в този случай трите търсени двойки решения са $(-5; 0), (4; -3), (4; 3)$

С това би трябвало да се изчерпва решението на задачата, но всъщност не съм напълно сигурен дали няма някоя дупчица в теорията. Обмислях случая, в който квадратното за $x$ има единствен корен. Тогава обаче ще ни трябва едно нулево и едно положително $t$ за точно тази стойност на $a$, за която дискриминантата на квадратното се занулява (а тази стойност е именно $a = -\frac{101}{4}$. Тогава $x_{1,2} = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$), ама нали системата е линейна спрямо $t$, та или ще получим отрицателна стойност, при което няма да има и една двойка решения, или нулева - при което ще има една двойка решения, или положителна - при което ще има две двойки решения. И теоретически три двойки не са възможни и в този сценарий. Та да, би трябвало вярна да излезе логиката от първите редове

[Nathi123]

[tex]\begin{array}{|l} x - y^{2} = a \\ x^{2} + y^{2} = 25 \end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l} x^{2}+x-a-25=0\\ x - y^{2} = a\Leftrightarrow y^{2}=x-a \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2} + x-a-25 = 0 \\ y ^{2}=x-a \end{array}[/tex]
Ако първото уравнение има двукратен корен ,то системата ще има най - много 2 решения. Т.е. [tex]x^{2} + x-a-25 = 0[/tex] трябва да има два различни реални корена,значи D=4a+101 >0. [tex]\Rightarrow a>-\frac{101}{4}\Rightarrow x_{1,2 }=\frac{-1\pm\sqrt{4a+101}}{2}[/tex]
Нека [tex]x_{1 }<x_{2 }\Rightarrow y^{2}=x_{1 }-a\cup y^{2}=x_{2 }-a \Rightarrow[/tex] системата ще има 3 решения ,ако[tex]\begin{array}{|l} x_{1 }-a=0 \\x_{2 }-a>0\end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{-1-\sqrt{4a+101}}{2a} =a\Leftrightarrow -1-2a=\sqrt{4a+101}\Rightarrow a\le - \frac{1}{2}\cap a>-\frac{101}{4}\Rightarrow a\in (-\frac{101}{4},-\frac{1}{2}][/tex]
[tex]\Rightarrow\begin{array}{|l} 1+4a+4a^{2}=4a+101\Leftrightarrow a^{2}=25 \\ a\in (-\frac{101}{4},-\frac{1}{2}]\end{array}\Rightarrow a=-5[/tex].

[ptj]

Nathi123,

Пропускаш един случай.

[Nathi123]

Второ решение без да се решава ирационално уравнение. От първия начин е показано,че системата е еквив. на системата:[tex]\begin{array}{|l} x^{2}+x -a-25=0 \\ y^{2}=x-a \end{array}[/tex]
Също е показано,че тази система ще има три решения,ако квадратното уравнение за х с дискриминанта D=4a+101 има 2 различни реални корена [tex]x_{1 }<x_{2 }[/tex] ( означено е кой е по - малкият корен ).
[tex]\Rightarrow D>0\Rightarrow a>-\frac{101}{4}[/tex] и [tex]\begin{array}{|l} x_{1 }-a=0\\ x_{2}- a>0 \end{array}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(x_{1 }-a)(x_{2}- a)=0 \\ x_{1 }-a+x_{2}- a>0\\a>-\frac{101}{4} \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} f(a)=0 \\ -1-20>0\Leftrightarrow a<-\frac{1}{2}\\ a>-\frac{101}{4} \end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l} a^{2} -25=0\\ a\in (-\frac{101}{4},-\frac{1}{2})\end{array}\Rightarrow[/tex] a=-5.

[Nathi123]

Кой точно случай съм пропуснала ?

[Nathi123]

Ако [tex]x_{1 }<x_{2 }[/tex] не може да искаме [tex]x_{2 }-a=0[/tex] и [tex]y^{2}=x_{1 }-a[/tex] ,защото [tex]x_{1 }-a <x_{2 }-a =0\Rightarrow x_{1 }-a <0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] не е възможно [tex]x_{1 }-a = y^{2}[/tex].

[ptj]

Написаното горе е достатъчно.

Или можеше да споменеш, че щом центъра [tex](-\frac{1}{2})[/tex] на параболата за квадратното уравнение е отрицателен , то по-малкия корен винаги е отрицателен, т.е. положителен може да е само по-големия от двата корени.