Система уравнения с параметър

[Hephaestus]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които системата

[tex]\begin{array}{|l} 2x^{2} + x(2y + 3) - y - 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} = a \end{array}[/tex]

има точно три решения.

[Davids]

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които системата

[tex]\begin{array}{|l} 2x^{2} + x(2y + 3) - y - 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} = a \end{array}[/tex]

има точно три решения.

[tex]\begin{array}{|l} 2x^{2} + x(2y + 3) - (y + 2) = 0 \\ y^{2} = a - x^2 \end{array}[/tex]
Ще решим първо първото уравнение:
$2x^2 + (2y+3)x - (y+2) = 0$
$D = (2y+3)^2 + 4.2(y+2) = 4y^2 + 20y + 25 = (2y + 5)^2$
$\Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}; x_2 = -y-2$

Дорешаваме системата чрез второто уравнение:
I) $\begin{array}{|l} x = \frac{1}{2} \\ y^2 = a - x^2 \end{array}$
$\Rightarrow y^2 = a - \frac{1}{4}$
$y = \pm \sqrt{a - \frac{1}{4}}$
Следователно решения тук имаме само при $а \ge \frac{1}{4}$

II) $\begin{array}{|l} x = -y-2 \\ y^2 + x^2 - a = 0 \end{array}$
$\Rightarrow 2y^2 + 4y + 4 - a$
$y = -1 \pm \frac{1}{2}\sqrt{2a - 4}$
Следователно решения тук имаме само при $а \ge 2$

Сега остана да разгледаме случаите, когато решенията са точно три. Понеже от всеки от двата случаи получаваме между нула и две решения, то ни трябва един случай с едно решение и един случай с две. За това по принцип има два варианта:
I) когато първият случай има едно решение (т.е. при $а = \frac{1}{4}$) и вторият случай има две (т.е. при $а > 2$), при което в дадения случай веднага достигаме до противоречие и този вариант отпада;
II) когато първият случай има две решения (т.е. при $а > \frac{1}{4}$) и вторият случай има едно (т.е. при $a = 2$), което ни остава валидно решение.

Окончателния отговор е $a = 2$, при което имаме три двойки решения: $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}), (-4; -1)$.

[Hephaestus]

Да, една от търсените стойности е [tex]a = 2[/tex]. Тогава трите двойки решения са [tex](1, 1), (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{7}}{2})[/tex], някаква малка техническа грешка имаш явно.

Съществува обаче още една стойност на [tex]a[/tex], при която системата има точно три решения.

Трябва да се разгледа още един трети вариант - когато и двете системи имат по две решения, като едно от решенията съвпада. Тогава се получава и другата стойност на [tex]a[/tex].

[Davids]

Да, една от търсените стойности е [tex]a = 2[/tex]. Тогава трите двойки решения са [tex](1, 1), (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{7}}{2})[/tex], някаква малка техническа грешка имаш явно.

Съществува обаче още една стойност на [tex]a[/tex], при която системата има точно три решения.

Трябва да се разгледа още един трети вариант - когато и двете системи имат по две решения, като едно от решенията съвпада. Тогава се получава и другата стойност на [tex]a[/tex].

Така е, абсолютно прав си. Подхождаме така:
За двете получени стойности на $x$ получаваме съответно две квадратни функции за $y$:
I) $y^2 - a + \frac{1}{4} = 0$
II) $2y^2 + 4y + 4 - a = 0$
Търсим стойностите на $a$ такива, че двете уравнения да имат точно един общ корен (т.е. да се пресичат в точно една точка, съответно с равни координати нали, и тя да е корен). За да е изпълнено това, то трябва да имаме две равни стойности на $x$ от двете функции, които да са корени. Т.е. $x = \frac{1}{2} = -y-2 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}$
Така от второто уравнение в двете системи получаваме $a = x^2 + y^2 = \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{13}{2}$ и това е търсената друга стойност