система от 4 уравнения с 4 неизвестни

[amiSega]

как се решава тази задача

в едно семейство имало 4 братя на различна възраст. Първият казал, че сборът от годините на другите трима е 20. Вторият казал, че сборът от годините на другите трима е 22. Третият казал, че сборът от годините на другите трима е 24. Четвъртият - 27. На колко години е всеки от братята?

мисля си че става със система от 4 уравнения но не мога да я реша.

[Добромир Глухаров]

Нека братята са на $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$ години и $x_1+x_2+x_3+x_4=S$.

Тогава $\begin{array}{l}x_1=S-(x_2+x_3+x_4)=S-20\\x_2=S-(x_1+x_3+x_4)=S-22\\x_3=S-(x_1+x_2+x_4)=S-24\\x_4=S-(x_1+x_2+x_3)=S-27\end{array}$

Събираме левите и десните страни: $S=4S-93\Rightarrow 3S=93\Rightarrow S=31\Rightarrow\begin{array}{l}x_1=31-20=11\\x_2=31-22=9\\x_3=31-24=7\\x_4=31-27=4\end{array}$

[S.B.]

Нека отбележим възръстта на братята с : a,b,c,d:Съставяме системата :
[tex]\begin{array}{|l} a + b + c = 20 \\b + c + d = 22\\c + d + a = 24\\d + a + b = 27 \end{array}[/tex]
Събираш ги почленно и получаваш: 3.(а + b + c + d) = 93 [tex]\Rightarrow[/tex] a + b + c + d = 31;
[tex]\begin{array}{|l}a + b + c + d = 31 \\a + b + c = 20 \end{array}[/tex] изваждаш почленно и получаваш d = 11;
[tex]\begin{array}{|l} а + b + c + d = 31 \\ b + c + d = 22 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a = 9;
c + a + d = 24 [tex]\Leftrightarrow[/tex] c + 9 + 11 = 24 [tex]\Rightarrow[/tex] c = 4;
b + a + d = 27 [tex]\Leftrightarrow[/tex] b + 9 + 11 = 27 [tex]\Rightarrow[/tex] b = 7;
Получи се : a = 9, b = 7,c = 4 , d = 11

[amiSega]

Благодаря за интересните отговори. все пак да попитам система от 4 уравнения с 4 неизвестни може ли да се реши просто със заместване на едното уравнение в другото и така на татък

[S.B.]

Благодаря за интересните отговори. все пак да попитам система от 4 уравнения с 4 неизвестни може ли да се реши просто със заместване на едното уравнение в другото и така на татък

Отговарям на въпроса Ви дали може система от 4 уравнения да се реши просто със заместване "на едно уравнение в друго и т.н." - системата от 4 уравнения с 4 неизвестни е просто система от уравнения и е подчинена на правилата за решаване на системи от уравнения - свободен сте да пробвате.Но в математиката има и нещо друго,което се нарича усет,а именно да намериш "края на кълбото" или "ключа от бараката" или "къде е заровено кучето".За да решите една задача освен,че трябва да владеете теорията трябва да имате и усет.В тази система,след като я напишете ясно се вижда,че всеки от трите вертикални стълба съдържа всички неизвестни и е близко до ума,че ако съберете почленно уравненията (което е разрешено!) ще получите 3 пъти сумата от годините на всички братя.Останалото е лесно - просто изваждате всяко уравнение в тази сума

[fivex]

Аз имам следния проблем.
Имаме четири числа: a, b, c, d в следната зависимост:
a I b
c I d

a+b=15
c+d=6
a+c=8
c+d=13
a+b+c+d=21

Проста работа, но не мога да я реша. Както да замествам, все стигам до а=а, 7=7 и т.н. Къде греша?

[Петър Евгениев]

Аз имам следния проблем.
Имаме четири числа: a, b, c, d в следната зависимост:
a I b
c I d

a+b=15
c+d=6
a+c=8
c+d=13
a+b+c+d=21

Проста работа, но не мога да я реша. Както да замествам, все стигам до а=а, 7=7 и т.н. Къде греша?

[tex]c+d=6, c+d=13[/tex], последно колко е?

[Добромир Глухаров]

$\begin{array}{|l}a+b=15\\c+d=6\\a+c=8\\b+d=13\end{array}$

Системата е недоопределена - има повече от едно решение във вид на четворка числа - $(a,b,c,d)$. Затова получавате тъждества. Трябва да приемем едното неизвестно за параметър. Например $d=p\in\mathbb{R}$.

$\begin{array}{|l}a+b=15\\c+p=6\\a+c=8\\b+p=13\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}d=p\\b=13-p\\c=6-p\\a=8-c=8-(6-p)=2+p\end{array}$

Следователно решенията са четворките реални числа $(2+p,13-p,6-p,p),p\in\mathbb{R}$

[Genie_Almo]

И след като вземем предвид условията $a I b$ и $c I d$, вече можем да ограничим решенията до едно единствено:

$p=3$ и $(a,b,c,d) = (5,10,3,3)$

[ptj]

$\begin{array}{|l}a+b=15\\c+d=6\\a+c=8\\b+d=13\end{array}$

Системата е недоопределена - има повече от едно решение във вид на четворка числа - $(a,b,c,d)$. Затова получавате тъждества. Трябва да приемем едното неизвестно за параметър. Например $d=p\in\mathbb{R}$.

$\begin{array}{|l}a+b=15\\c+p=6\\a+c=8\\b+p=13\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}d=p\\b=13-p\\c=6-p\\a=8-c=8-(6-p)=2+p\end{array}$

Следователно решенията са четворките реални числа $(2+p,13-p,6-p,p),p\in\mathbb{R}$

Дотук добре, но не си използвал "делимостта", а тя има смисъл само за цели числа.

Т.е. [tex]6-p/p[/tex] . При [tex]p<0 : |6+(-p)|>|-p|[/tex] (няма решение), a при [tex]p\ge0[/tex] от [tex]6-p/p\Rightarrow p\ge3[/tex].

Освен това [tex]2+p\le13-p\Rightarrow p\le5[/tex].

Остава да проверим за кои [tex]p=3,4,5[/tex] е изпълнено [tex]2+p/13-p[/tex].

Решение окончателно е само [tex]p=3[/tex].

[tex](a;b;c;d)=(5;10;3;3)[/tex]