Система (4 уравнения, 4 неизвестни)

[strangerforever]

[tex]\frac{a^{2}}{4 } + h^{2} = a^{2}[/tex]

[tex](\frac{b}{2} + x)^{2} + h^{2} = b^{2}[/tex]

[tex]x^{2} + h^{2} = (\frac{3ab}{4})^{2}[/tex]

[tex]cos\alpha = \frac{\frac{b}{2} + x}{b}[/tex]


a, b, h и x са неизвестни, cos [tex]\alpha[/tex] е параметър.

Системата е част от решението на една малко по-сложна задача за построение. Благодаря на всеки изявил желание да се опита да я реши, да успее и най-трудното - да я напише тук

[ganka simeonova]

Аз предлагам първо да напишеш условието на самата задача.
Така без условие никога не бих решила "тази ужасна система"
Дай условието.

[strangerforever]

Да се построи ? ABC по дадени [tex]\alpha[/tex] и [tex]l_{c}[/tex] ако страните му са свързани с равенството 2c = a + b.

[ganka simeonova]

Почвам да мисля. Такъв триъгълник, на който страните образуват аритметична прогресия, има някои уникални свойства:)
Да видим, какво ще измисля, че системата ти е страшна

[ganka simeonova]

Значи само по два елемента така ли?
Ъгъл и ъглополовяща?

[strangerforever]

Не сме учили аритметрична прогресия, да, по два елемента, знам, че не може са по два, но знаем, че и c = a+b / 2, откъдето AL = a/2 и BL = b/2, което също може да се използва.

Освен това, сме доказвали теоремата на колко е равна ъглополовящата с подобни триъгълници, така че дори и да не сме учили Косинусова теорема, може да я използваме.

П.С.: Сподели ги тези св-ва, може и да се окаже, че можем да ги използваме, нищо че не сме учили какво е аритметрична прогресия.

[ganka simeonova]

Чакай, че направо се развълнувах от задачата ти. Наистина е интересна.
Остави ар. прогресия, ползвай, че едната страна е стедноаритметична на останалите.
След малко, ако я реша, ще напиша тези свойства:)
А и да не успея, пак ще ги напиша.

[strangerforever]

Благодаря, че се занимаваш и ми помагаш, стигам до някъде на задачата, ще ти благодаря много ако постнеш и решението.

Междувременно, понеже се чудих и за една друга задача одеве, какво е определението за Подобни трап(е)ци

/ Задачата е " Да се построи (ако съществува) права, успоредна на основите, която разделя даден трапец на два подобни трапеца ", но тъй като не сме учили подобни многоъгълници, а само триъгълници, ми е странно дали са нужни знания за подобни многоъгълници. /

[ganka simeonova]

Задачата е много по- лесна, отколкото си мислех.
Ако [tex]LC=l; \angle A=\alpha ,AL=x; AC=2x[/tex], от кос. т-ма можеш да изразиш х.

Това значи, че можеш да построиш х.
След това построяваш по две страни и ъгъл триъгълник ALC. Така вече знаеш [tex]\angle ACL[/tex]
После построяваш ъгъл с връх С и рамо CL, равен на ACL. После пресичаш второто му рамо с продължението на AL и така фиксираш точка В.

[strangerforever]

Задачата е много по- лесна, отколкото си мислех.
Ако [tex]LC=l; \angle A=\alpha ,AL=x; AC=2x[/tex], от кос. т-ма можеш да изразиш х.

Това значи, че можеш да построиш х.
След това построяваш по две страни и ъгъл триъгълник ALC. Така вече знаеш [tex]\angle ACL[/tex]
После построяваш ъгъл с връх С и рамо CL, равен на ACL. После пресичаш второто му рамо с продължението на AL и така фиксираш точка В.

Задачата е по-лесна, ако е учена Косинусова теорема, която се учи в 10-ти клас. Ако я използвам, и аз ще успея да я реша, проблемът е, че не можем да я използваме, защото не е учена, задачата е от урок, който е предвиден да се учи в 9-ти клас.

Дори и използвайки док. за кос. теорема, т.е. като спусна височина в ALC и напиша Пит. теорема за 2та триъгълника, пак не мога да изразя x, защото не сме учили триг. функции в общия им случай, а само в правоъг. триъгълник. Затова и спуснах тази височина, за да мога някак да използвам триг. функция за алфа.

[strangerforever]

Всъщност, моя е грешката, използвайки кос. теорема ще си я изразя без проблеми и ще си я реша, дори и без да са учени в общия им случай триг. функции, но не сме учили Кос. теорема, така че не мога да я използвам.

Така че, ако имаш някакво друго решение, без Синусова и косинусова теорема, моля, дай го, иначе трябва да се решава системата. Иначе пак ти благодаря, че изяви желание да помогнеш.

[ganka simeonova]

Пускам тежката артилерия тогава
Значи, точно такъв триъгълник има интересно свойство.
Радиусът на вписаната окръжност е 1/3 от височината към средната по големина страна, т.е., към АВ. Тогава центърът на вписанат окр. е на CL и на 2/3 от върха С.
Нека това е т. J.
Сега построй ГМТ на точки, от които CL се вижда под ъгъл алфа ( това е дъга от окр с хорда CL) и построй ГМТ на точки, от които JL се вижда под ъгъл алфа/2. ( второто ГМТ построй в същата полуравнина, в която е първото).
Двете дъги ще се пресекат в т. А.
Ако искаш док, за твърдението, че радиусът е 1/3 от средната височина ще ти го пусна:)

[strangerforever]

Ами, да си призная, почти нищичко не разбрах

Първо, това което разбрах е, че т. J е центърът на вписаната окръжност, това така ли е? Другото, което разбрах е CJ = r = 1/3 от hc. Разбрах защо центърът е на CL, но не разбрах какво означава " на 2/3 от върха C ".

Освен това, не сме учили ГМТ (пропуснахме го), което може би е и причината да не разбера втората част ни най-малко, защото не разбрах защо ще се пресекат в т. А, нито разбрах защо при втората дъга трябва да се вижда под ъгъл алфа/2. А и не знам дали мога да го обясня/напиша/реша на контролната (например), без да сме учили ГМТ.

[ganka simeonova]

[tex]JL=r=\frac{1}{3 } CL[/tex]

[ganka simeonova]

Това ГМТ се учи в 8 клас:)
Всички точки, от които дадена отсечка АВ се вижда под ъгъл алфа, лежат на дъга от окр ( по- скоро на две еднакви дъги в различни полуравнини) с хорда АВ, без точките А и В.

[strangerforever]

Да, разбрах вече обяснението напълно, но все пак, наистина, не сме учили ГМТ и го има в учебника ни за 9-ти клас, в 8-ми дори го нямаше в учебника, но и тази година не го учихме, а го пропуснахме. Има ли някакъв друг начин, без ГМТ и Кос. теорема или трябва да се мъча със зверската система?

[ganka simeonova]

Второто ми решение е най- елегантно и простичко:)
Системата ти е ужасна, меко казано:)
кое не е ясно за гмт? прочети, как се построява, ако не е ясно, ще ти обясня:)

[strangerforever]

Всичко е ясно, аз го разбрах, и за кос. теорема разбрах, мога и да я докажа и задачата ще стане. Говоря, че например, ако се падне на контролна тази задача, не мога да кажа " следва от кос. теорема " или " постр. ГМТ ... ", защото не сме го учили. Това е все едно в 8 клас да кажат "прилагаме Талес" или "прилагаме питагорова теорема". Просто не мога. Иначе всичко разбрах и от двете решение и ти благодаря много за тях, питах за друг вариант, защото при сегашните знания, които имаме, остава само тази система.

[ganka simeonova]

Нещо не вдявам. Сам каза, че го има в учебника за 9 клас ( а по начало се учи в 8 клас). Разбира се, че можеш да го ползваш, има с хаз!
А тази система, ако я решиш, шапка ти свалям
Аз не бих могла, по- скоро не бих си причинила такава мъка

[strangerforever]

Нещо не вдявам. Сам каза, че го има в учебника за 9 клас ( а по начало се учи в 8 клас). Разбира се, че можеш да го ползваш, има с хаз!
А тази система, ако я решиш, шапка ти свалям
Аз не бих могла, по- скоро не бих си причинила такава мъка

Примерът с питагорова теорема и Талес не беше уместен, затова се обърка. Има го в учебника за 9-ти клас, няма го в този за 8-ми, но сега, в 9-ти клас, го пропуснахме като урок, просто не го учихме, не знам причината за това и затова не може да го използваме.

Тази система, вадя от третото второто, унищожават се[tex]x^{2}[/tex] и [tex]h^{2}[/tex], изразявам от там a чрез b.
Вадя от третото първото, унижощава се само [tex]h^{2}[/tex], но замествам и a, и x (изразено чрез b, от последното)
Остават само b и [tex]\alpha[/tex], което се използва като параметър.

Но сметките нещо не ми излизат, не знам защо.

Едит: грешка, от първото изваждане остава само x и малко се удължават сметките, но все пак не излизат накрая.

[ganka simeonova]

Лелеллее...
Ами вие така може да си пропуснете целия материал до 12 клас...
Че тогава, как ще решаваш задачи.
Аз съм до тук, никакви системи не решавам.

[strangerforever]

[tex]\frac{b^{2}.y^{2} - \frac{b^{2}}{4 } }{\frac{2^{8}.b^{2}.y^{2} + 2^{6}.b^{2} + 2^{4} + 2^{5}.b^{2}.y + 2^{6}.b.y + 2^{5}.b}{81}}[/tex] - [tex]\frac{1}{4} = (\frac{3}{4}b)^{2} - 1[/tex]

y = cos [tex]\alpha[/tex], заместих го, за да си спестя малко писане като го писах тука
Дотук го докарах. И нищо друго не сме пропускали, това не знам защо го пропуснахме.

[ganka simeonova]

[tex]\frac{b^{2}.y^{2} - \frac{b^{2}}{4 } }{2^{8}.b^{2}.y^{2} + 2^{6}.b^{2} + 2^{4} + 2^{5}.b^{2}.y + 2^{6}.b.y + 2^{5}.b}[/tex] - [tex]\frac{1}{4} = (\frac{3}{4}b)^{2} - 1[/tex]

y = cos [tex]\alpha[/tex], заместих го, за да си спестя малко писане като го писах тука
Дотук го докарах. И нищо друго не сме пропускали, това не знам защо го пропуснахме.

ЛЕлеееее каво е това чудо с две неизвестни!

[ganka simeonova]

Само едно не мога да разбера- поиска решение, предложих ти две.
Второто решение е 8- класно, при това простичко и мисля- хубаво.
Защо не го приемеш, не прочетеш малко за това гмт, а си губиш времето в идиотски системи.
Едно решение за построение трябва да е елегантно.

[strangerforever]

Не е с две неизвестни, y не е неизвестно, а се използва като параметър ( = cos[tex]\alpha[/tex], заместих го просто да не го пиша толова дълго) и ако изразя b чрез него, задачата е решена.

И това се получи след малко решаване на системата.

И да, благодаря за изявеното желание, наистина. Аз мога да ги приема решенията, просто на контролна не мога да напиша, че "съм прочел малко за гмт" и да го използвам, на мен няма да ми го приемат.