решение на една система от добрия стар форум

[mathinvalidnik]

една задача от стария форум,която беше пуснал естояноввд

[tex]\begin{array}{|l}y^{2}-4xy+4y-1=0\\3x^{2}-2xy-1=0\\xy>0 \end{array}[/tex] <=>[tex]\begin{array}{|l}4xy=y^{2}+4y-1\\2xy=3x^{2}-1\\xy>0 \end{array}[/tex] <=> [tex]\begin{array}{|l}x=\frac{y^{2}+4y-1}{4y }\\2xy=3x^{2}-1\\xy>0\end{array}[/tex] сега заместваме [tex]x=\frac{y^{2}+4y-1}{4y }[/tex] във второто уравнение:

[tex]2y.(\frac{y^{2}+4y-1}{4y })^{2}=3.(\frac{y^{2}+4y-1}{4y })^{2}-1[/tex]

[tex]2y.(\frac{y^{2}+4y-1}{4y })^{2}-3.(\frac{y^{2}+4y-1}{4y })^{2}+1=0[/tex]

[tex](\frac{y^{2}+4y-1}{4y })^{2}(2y-3)+1=0[/tex] => тук съобразяваме,че [tex](\frac{y^{2}+4y-1}{4y })^{2} > 0[/tex] за всяко y , [tex]y \ne 0[/tex] .по принцип ако числителя е равен на нула то и [tex](\frac{y^{2}+4y-1}{4y })^{2}[/tex] ще е равно на нула ,но след като заместим непосредствено в уравнението [tex]f(y)=(\frac{y^{2}+4y-1}{4y })^{2}(2y-3)+1=0[/tex] виждаме,че се получава 0+1=0(което е невярно числово равенство)

[tex]2y-3=\frac{-1}{(\frac{y^{2}+4y-1}{4y })^{2} }[/tex] тук стигаме до полинома [tex]f(y)=2y^{5}+13y^{4}+4y^{3}-42y^{2}+26y-3=0[/tex] След проверка чрез схемата на Хорнер установяваме ,че само y=1 е решение на f(y).след това като се върнем към [tex]x=\frac{y^{2}+4y-1}{4y }[/tex] и заместим с y=1 и получаваме x=1.тези две стойности удовлетворяват x.y>0 (1>0) значи наредената двойка (1;1) е решение на системата.

[martin123456]

браво! пиша и за да стане отговорена тема