Решете

[Гост]

[tex]\begin{array}{|l} 4x^{2} - 2xy +y^{2}= 4 \\ y^{2} - xy = 2 \end{array}[/tex]

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l} 4x^{2} - 2xy +y^{2}= 4 \\ y^{2} - xy = 2 \end{array}[/tex]

Очевидно двойката $x =0,y=0$ не е решение на системата.
Нека [tex]y\ne 0[/tex] Ианасям $y^{2}\ne 0$ пред скоба
$\begin{array}{|l}y^{2}(4(\displaystyle\frac{x}{y})^{2}-2\displaystyle\frac{x}{y} + 1) = 4 \\y^{2}(1 - \displaystyle\frac{x}{y}) = 2 \end{array}$
Нека $\frac{x}{y} = t$
Деля почленно двете уравнения и получавам:

$\frac{y^{2}(4t^{2} - 2t + 1)}{y^{2}(1 -t)} = \frac{4}{2} \Leftrightarrow \frac{4t^{2} - 2t + 1}{1 - t} = 2 \Leftrightarrow 4t^{2} - 2t + 1 = 2 - 2t \Leftrightarrow 4t^{2} - 1= 0 $
$4t^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow (2t + 1)(2t - 1) = 0 , \Rightarrow t_{1 } = - \frac{1}{2}, t_{2 } = \frac{1}{2} \Rightarrow\frac{x}{y} = \pm \frac{1}{2}$
Образуваш две нови системи:

$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = \displaystyle\frac{1}{2}\\ y^{2} - xy = 2 \end{array}$ $\cup$ $\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = -\displaystyle\frac{1}{2} \\y^{2} - xy = 2\end{array}$

1)
$\begin{array}{|l} x = \displaystyle\frac{y}{2}\\ y^{2}- xy = 2\end{array} \Rightarrow y^{2} - \displaystyle\frac{y^{2}}{2} = 2 \Rightarrow y^{2} = 4 $
$$y_{1,2 } \pm 2 , x_{1,2 }= \pm 1$$
2)
$\begin{array}{|l} x = - \displaystyle \frac{y}{2} \\ y^{2} -x y = 2 \end{array} \Rightarrow y^{2} + \displaystyle\frac{y^{2}}{2} = 2 \Rightarrow 3y^{2} = 4 \Rightarrow y^{2} = \displaystyle\frac{4}{3}$ $$y_{3,4 } = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3} , x_{3,4 } = \mp \frac{\sqrt{3}}{3}$$

[math10.com]

Така е малко по-лесно.Умножаваме 2-рото уравнение с 2 и приравняваме двете уравнения.Получава се:
[tex]4x^2-2xy+y^2=2y^2-2xy \Rightarrow 4x^2=y^2[/tex] с две решения [tex]y=2x ; y=-2x[/tex]

Сега заместваме във второто уравнение последователно с тези 2 стойности.

[tex]4x^2-2x^2=2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x_1=1 , x_2=-1 \Rightarrow y_1=2 ; y_2=-2[/tex]
[tex]4x^2+2x^2=2 \Rightarrow x^2=\frac{1}{3} \Rightarrow x_3=\frac{\sqrt{3}}{3} ; x_4=-\frac{\sqrt{3}}{3} ; y_3=-\frac{2\sqrt{3}}{3} ; y_4=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex]