x^2+y=2 // y^2+x=2 Метод ?

[petertz]

Здравейте,
С какъв похват се решава подобна система?
Благодаря!

[Гост]

С изваждане на едното уравнение от другото.

[petertz]

И после ?

[Добромир Глухаров]

После - разлагане на множители.

[S.B.]

Методи има най-различни.Аз предлагам най - елементарния метод:

[tex]\begin{array}{|l} y^{2} + x = 2 \\ x^{2} + y = 2 \end{array} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} x = 2 - y^{2} \\ (2 - y^{2})^{2} + y - 2 =0\end{array}[/tex]

$(2 - y^{2})^{2} + y - 2 = 0 \Leftrightarrow 4 - 4y^{2} + y^{4} + y - 2 = 0 \Leftrightarrow $

$y^{4} - 4y^{2} + y + 2 = 0 \Leftrightarrow y^{2}(y^{2} - 4) + (y + 2) = 0 \Leftrightarrow y^{2}(y + 2)(y - 2) + (y + 2) = 0 \Leftrightarrow$

$(y + 2)[ y^{2}(y - 2) + 1] = 0 \Leftrightarrow (y + 2)(y^{3} - 2y^{2} + 1) = 0\Leftrightarrow (y + 2)(y^{3} - y^{2} - y^{2} + 1 ) = 0 \Leftrightarrow$

$(y + 2)[y^{2}(y - 1) -(y^{2} - 1)] = 0 \Leftrightarrow (y + 2)[y^{2}(y - 1) - (y - 1)(y + 1)] = 0 \Leftrightarrow$
$$(y + 2)(y - 1)(y^{2} - y - 1) = 0$$
1)
$y + 2 = 0 \Rightarrow y = - 2 $
$ x = 2 - y^{2} = 2 - 4 = -2$
$(- 2;- 2) $

2)
$y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$
$x = 2 - y^{2} = 2 - 1 = 1$
$(1;1)$

3)
$y^{2} - y - 1 = 0 , D = 5 , y_{1,2 } = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
$x = 2 - y^{2} = 2 - (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{2} = \frac{8 - (1 + 2\sqrt{5} + 5}{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
$(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} ; \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} ; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$$(- 2;- 2) , ( 1 ; 1 ) , (\frac{1 + \sqrt{5}}{2} ; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) , (\frac{1 - \sqrt{5}}{2} ; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) $$