с-ма с у-я

[Гост]

[tex]\begin{array}{|l} lgx + lg \sqrt{x} +lg \sqrt[4]{x}+... = y \\ \frac{ \sum_{n=1}^{y }(2n-1) }{ \sum_{n=1}^{y }(3n+1) } = \frac{20}{7lgx} \end{array}[/tex]

[pal702004]

$x=10^5,\;y=10$

[S.B.]

[tex]\begin{array}{|l} lgx + lg \sqrt{x} +lg \sqrt[4]{x}+... = y \\ \frac{ \sum_{n=1}^{y }(2n-1) }{ \sum_{n=1}^{y }(3n+1) } = \frac{20}{7lgx} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \lg x + \lg \sqrt{x} + \lg \sqrt[3]{x} + ..... = y \\ \displaystyle \frac{ \sum_{n=1}^{y }(2n - 1) }{ \sum_{n=1}^{y }(3n + 1) } = \displaystyle \frac{20}{7\lg x} \end{array}[/tex]

[tex]\lg x + \lg \sqrt{x} + \lg \sqrt[4]{x} + ..... = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \frac{1}{2n}...).\lg x = y[/tex]
Изразът в скобите е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, [tex]a_{1 } = 1 , q = \frac{1}{2} , \ S = \frac{1}{1 - q}[/tex]
[tex]1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... = 2 \Rightarrow \lg x + \lg \sqrt{x} + \lg \sqrt[4]{x}...= y \Leftrightarrow 2\lg x = y[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^{y }(2n - 1) = 1 + 3 + 5 + ..(2y - 1) = \frac{1 + (2y-1)}{2}.y = y^{2}[/tex] (Сума на аритметична прогресия)
[tex]\sum_{n=1}^{y }(3n + 1) = 4 + 7 + 10 + ....+(3y + 1) = \frac{4 + (3y + 1)}{2}.y = \frac{5 + 3y}{2}.y[/tex] (Сума на аритметична прогресия)
Сега системата придобива следния вид:
[tex]\begin{array}{|l} 2\lg x = y \\ \displaystyle \frac{ y^{2} }{\displaystyle \frac{(5 + 3y).y}{2} } = \displaystyle\frac{20}{7\lg x} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \lg x = \displaystyle \frac{y}{2} \\\displaystyle \frac{2y}{5 + 3y} = \displaystyle \frac{40}{7y} \end{array}[/tex]

[tex]\frac{y}{5 + 3y} = \frac{20}{7y} \Leftrightarrow 7 y^{2} - 60y - 100 = 0 ,D = 6400 , y_{1,2 } = \frac{60 \pm 80 }{14} , y_{1 } = 10 , y_{2 } =- \frac{10}{7} < 0[/tex]
$y>0$ ,защото $y$ е броя на членовете на аритметичните прогресии от второто уравнение.
[tex]\begin{cases} y = 10 \\ 2\lg x = y \end{cases} \Rightarrow \lg x = 5 \Rightarrow x = 10^{5}[/tex]
Така получих отговорът който е получил и колегата pal702004
$$x =10^{5} , y = 10$$

[Гост]

Колегата Ви публикувал отговори, които могат а да бъдат намерени в края на сборника, а Вие публикувате и решението, което е смисълът на форума.