Система от две уравнения от втора степен

[finalist]

[tex]\begin{tabular}{|l}(x-{x_1})^2 + (y-{y_1})^2 = {r_1}^2\\(x-{x_2})^2 + (y-{y_2})^2 = {r_2}^2 \end{tabular}[/tex]

където: [tex]{x_1}, {y_1}, {r_1}, {x_2}, {y_2}, {r_2},[/tex] са константи;

Може ли да се реши горната система уравнения от втора степен, така че да се получат формули за изчисляване на x и y ?
Благодаря !

[mkmarinov]

[tex]x^2-2x_1x+x_1^2+y^2-2y_1y+y_1^2=r_1^2[/tex]
[tex]x^2-2x_2x+x_2^2+y^2-2y_2y+y_2^2=r_2^2[/tex] След изваждане:
[tex]2(x_2-x_1)x+x_1^2-x_2^2+2(y_2-y_1)y+y_1^2-y_2^2=r_1^2-r_2^2[/tex] =>
[tex](x_1+x_2-2)(x_1-x_2) x+(y_1+y_2-2)(y_1-y_2)y=r_1^2-r_2^2[/tex]
Получената връзка между x и y е линейна, заместваш в първото уравнение и го решава като квадратно .

(а с общата хорда може да стане и по-лесно)

[Martin Nikovski]

Не трябва ли [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] да са в скобите. Ето така:
[tex](x_1+x_2-2x)(x_1-x_2)+(y_1+y_2-2y)(y_1-y_2)=r_1^2-r_2^2[/tex]
И аз си мислех за този вариант, но получавам [tex]y=\frac{r_1^2-r_2^2+2xx_1-2xx_2+x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2}{2(y_2-y_1) }[/tex]
След заместване в първото уравнение от системата и след дъъъъъъъъъъъълги преобразувания получавам следното квадратно уравнение:
[tex]4[(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2]x^2-4[(r_1^2-r_2^2)(x_2-x_1)+(x_1+x_2)(x_1-x_2)^2+(x_1+x_2)(y_1-y_2)^2]x+[/tex]
[tex]+2(x_1^2+x_2^2)(y_2-y_1)^2+(x_1^2-x_2^2+r_1^2-r_2^2)^2-2(r_1^2+r_2^2)(y_2-y_1)^2+(y_2-y_1)^4=0[/tex]
Не се шегувам...
Вероятно съм объркал някъде нещо, но пак ще се получи такъв обем.
Ще споделиш ли вторият вариант, който предложи (с обща хорда). Този очевидно не е много рационален.

[mkmarinov]

Идеята ми е, ако се знае уравнението на правата, която е обща хорда на двете окръжности, да се намери къде тя пресича едната (което ще е доста по-лесно).
Знае се, че тя е перпендикулярна на централата (която лесно се намира). Ако не се лъжа се знаеше и отношението, в което я дели, като се вземат предвид двата радиуса.
(говоря за ето тази права: http://wapedia.mobi/en/Radical_axis )

[Martin Nikovski]

Да, разбрах... и благодаря за хубавия сайт, не го знаех.

[allier]

Ето това е най-краткото като формула, което намерих:

(цитат от http://mathforum.org/library/drmath/view/51836.html)

Let the centers be: (a,b), (c,d)
Let the radii be: r, s

e = c - a [difference in x coordinates]
f = d - b [difference in y coordinates]
p = sqrt(e^2 + f^2) [distance between centers]
k = (p^2 + r^2 - s^2)/(2p) [distance from center 1 to line
joining points of intersection]
x = a + ek/p + (f/p)sqrt(r^2 - k^2)
y = b + fk/p - (e/p)sqrt(r^2 - k^2)
OR
x = a + ek/p - (f/p)sqrt(r^2 - k^2)
y = b + fk/p + (e/p)sqrt(r^2 - k^2)

[finalist]

Благодаря на всички, кото помогнаха,
понеже работя в геодезическа координатна система, отначало не получавах верни отговори за координатите на двете пресечни точки на окръжностите ....
Понеже бях изпрограмирал формулите като процедура на Pascal, реших, че трябва да разменя нещо във входните данни на процедурата, за да видя, дали ще проработи.
Най-отначало подавах параметрите като (a,b,c,d) - не се получаваше
След това (b,a,d,c) - не се получи
Накрая (c,d,a,b) = ПОЛУЧИХА СЕ КООРДИНАТИТЕ НА ДВЕТЕ ПРЕСЕЧНИ ТОЧКИ ( но разменени ).
Аз още не мога да осъзная защо се получава така, при геодезическа координатна система, но ....