Страшничка система

[KOPMOPAH]

При кои значения на параметъра $\alpha$ системата $$\begin{array}{|l} \cos^2(\pi xy)-2\sin^2(\pi x) -3\sin^2(\pi y)+\tg(\pi \alpha)=2\\ \cos(\pi xy)- \displaystyle \frac 32\sin^2(\pi x) -2\sin^2(\pi y)+\frac 12\tg(\pi \alpha)=\frac 32 \\ \log_2\left(1+4\sin^2\left(\displaystyle\frac{\pi \alpha}4-\frac{\pi}{16}\right)-x^2-y^2\right)\le \displaystyle\frac12\end{array}$$има точно $4$ решения?

[Гост]

хихи от кой руски източник го взе туй?

[Гост]

И ко ако е руски-не е евро атлантическо ли?

[Гост]

хихи от кой руски източник го взе туй?

Тебе какво те притесни - че е руско или че не можеш да го решиш?

[Гост]

Руска или не - решавайте, че ми е интересно...

[Гост]

Руска или не - решавайте, че ми е интересно...

Ти що не я решиш?

[S.B.]

Както винаги задачите на KOPMOPAH са интересни!Няма значение от къде са!

[Гост]

КОРМОРАН, пробвал ли си да го туриш туй у wolframo, изкарва ли нещо?

[KOPMOPAH]

КОРМОРАН, пробвал ли си да го туриш туй у wolframo, изкарва ли нещо?

Не съм, ама туряй и покажи какви ще ги измъдри Волфрамо.

[nikola.topalov]

Ако умножим второто уравнение с $-2$ и прибавим към него първото, ще се отървем от [tex]\tan(\pi \alpha)[/tex]. Заедно с това решаваме и логаритмичното неравенство. Тогава дадената системата е еквивалентна на

[tex]\begin{array}{|l} \cos^2(\pi xy)-2\sin^2(\pi x) -3\sin^2(\pi y)+\tan(\pi \alpha)=2\\ (\cos(\pi xy)-1)^2+\sin^2(\pi x)+\sin^2(\pi y)=0 \\ 0<1+4\sin^2\left(\displaystyle\frac{\pi \alpha}4-\frac{\pi}{16}\right)-x^2-y^2\displaystyle\leq\sqrt{2}\end{array}[/tex]

От второто уравнение следват равенствата [tex]\cos(\pi x y)=1[/tex], [tex]\sin(\pi x)=0[/tex] и [tex]\sin(\pi y)=0[/tex], тъй като

[tex](\cos(\pi xy)-1)^2+\sin^2(\pi x)+\sin^2(\pi y)=0[/tex]

е изпълнено тогава, когато всеки един от квадратите е [tex]0[/tex]. Заместваме в първото уравнение, откъдето

[tex]\begin{array}{|l} \tan(\pi \alpha)=1 \\ \cos(\pi x y)=1 \\ \sin(\pi x)=0 \\ \sin(\pi y)=0 \\ 0<1+4\sin^2\left(\displaystyle\frac{\pi \alpha}4-\frac{\pi}{16}\right)-x^2-y^2\displaystyle\leq\sqrt{2}\end{array}[/tex]

което означава, че [tex]x,y\in\mathbb{Z}[/tex] (от равенствата [tex]\sin(\pi x)=0[/tex] и [tex]\sin(\pi y)=0[/tex]). Имаме

[tex]0<1+4\sin^2\left(\displaystyle\frac{\pi \alpha}4-\frac{\pi}{16}\right)-x^2-y^2\leq 5-(x^2+y^2)\leq\sqrt{2}[/tex]

Оттук можем да напишем [tex]5>x^2+y^2\geq5-\sqrt{2}>3[/tex] и понеже [tex]x^2+y^2\in\mathbb{Z}[/tex], то [tex]x^2+y^2=4[/tex]. И така получаваме

[tex]0<4\sin^2\left(\dfrac{\pi \alpha}{4}-\dfrac{\pi}{16}\right)-3\le \sqrt{2}[/tex]

От [tex]\tan(\pi\alpha)=1[/tex] имаме [tex]\alpha=\dfrac{1}{4}+k[/tex] за [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. Тогава

[tex]\sin^2\left(\displaystyle\frac{\pi \alpha}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{16}\right)=\sin^2\left(\displaystyle\frac{\pi k}{4}\right)[/tex]. Възможни стойности за този синус са [tex]0[/tex], [tex]1[/tex] и [tex]\dfrac{1}{2}[/tex], като лесно се проверява, че само за [tex]\sin^2\left(\displaystyle\frac{\pi k}{4}\right)=1[/tex] е изпълнено неравенството, т.е. за [tex]k=2+4p[/tex], където [tex]p\in\mathbb{Z}[/tex]. Заместваме и получаваме [tex]\alpha=\dfrac{9}{4}+4p[/tex]. Все пак нека отбележим, че от [tex]x^2+y^2=4[/tex] имаме точно четири двойки решения в цели числа, а именно [tex](x,y)=(2,2)[/tex], [tex](x,y)=(-2,2)[/tex], [tex](x,y)=(2,-2)[/tex] и [tex](x,y)=(-2,-2)[/tex]. Това означава, че за [tex]\alpha=\dfrac{9}{4}+4p[/tex] имаме точно четири решения.

Може и да бъркам. Ще се радвам да видя и други отговори.

[S.B.]

... Все пак нека отбележим, че от [tex]x^2+y^2=4[/tex] имаме точно четири двойки решения в цели числа, а именно [tex](x,y)=(2,2)[/tex], [tex](x,y)=(-2,2)[/tex], [tex](x,y)=(2,-2)[/tex] и [tex](x,y)=(-2,-2)[/tex]. Това означава, че за [tex]\alpha=\dfrac{9}{4}+4p[/tex] имаме точно четири решения.

Може и да бъркам. Ще се радвам да видя и други отговори.

Ако четирите двойки решения са [tex](2 ; 2 ) , (-2 ; 2) , (2 ; -2) , (-2 ; -2)[/tex]
то тогава за всяка двойка решения ще е изпълненно:
[tex]x^{2 } + y^{2 } = 4 + 4 = 8[/tex], а не [tex]x^{2 } + y^{2 } = 4[/tex]

[nikola.topalov]

Ако четирите двойки решения са [tex](2 ; 2 ) , (-2 ; 2) , (2 ; -2) , (-2 ; -2)[/tex]
то тогава за всяка двойка решения ще е изпълненно:
[tex]x^{2 } + y^{2 } = 4 + 4 = 8[/tex], а не [tex]x^{2 } + y^{2 } = 4[/tex]

Така е Объркал съм се. Решенията са [tex](0 ; 2 ) , (0 ; -2) , (2 ; 0) , (-2 ; 0)[/tex].

[S.B.]

При кои значения на параметъра $\alpha$ системата $$\begin{array}{|l} \cos^2(\pi xy)-2\sin^2(\pi x) -3\sin^2(\pi y)+\tg(\pi \alpha)=2\\ \cos(\pi xy)- \displaystyle \frac 32\sin^2(\pi x) -2\sin^2(\pi y)+\frac 12\tg(\pi \alpha)=\frac 32 \\ \log_2\left(1+4\sin^2\left(\displaystyle\frac{\pi \alpha}4-\frac{\pi}{16}\right)-x^2-y^2\right)\le \displaystyle\frac12\end{array}$$има точно $4$ решения?

[tex]\begin{array}{|l} \cos^{2 }( \pi xy) -2 \sin^{2 1}( \pi x) -3 \sin^{2 }( \pi y) + \tg( \pi \alpha )= 2 \\ \cos( \pi xy) -\displaystyle \frac{3}{2} \sin^{2 }( \pi x) - 2 \sin^{2 }( \pi y) + \displaystyle \frac{1}{2}\tg( \pi \alpha) = \displaystyle \frac{3}{2} \\ \log_{2 }[1 + 4 \sin^{2 }(\displaystyle \frac{ \pi \alpha }{4} - \displaystyle \frac{ \pi }{16}) - x^{2 }- y^{2 }] \le\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}[/tex]

Елиминирам [tex]\tg( \pi \alpha)[/tex] като привеждам под общ знаменател второто уравнение и го изваждам почленно от първото.Получавам следното еквивалентно уравнение:

[tex]\cos^{2 }( \pi xy) - 2\cos( \pi xy) + \sin^{2 }( \pi x) + \sin^{2 }( \pi y) = -1 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\cos^{2 }( \pi xy) - 2\cos( \pi xy) + 1 + \sin^{2 }( \pi x) + \sin^{2 }( \pi y) = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex](\cos( \pi xy) - 1)^{2 } + \sin^{2 }( \pi x) + \sin^{2 }( \pi y) = 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \cos( \pi xy) - 1 = 0[/tex] , [tex]\sin( \pi x) = 0[/tex] и [tex]\sin( \pi y) = 0[/tex] едновременно
Замествам в първото уравнение и получавам:
[tex]1 + \tg( \pi \alpha) = 2 \Rightarrow \tg( \pi \alpha ) = 1[/tex]
От [tex]\begin{cases} \sin( \pi x) = 0 \rightarrow x \in Z\\ \sin ( \pi y) = 0 \rightarrow y \in Z\end{cases} \Rightarrow xy \in Z[/tex]
От [tex]\cos( \pi xy) = 1 \rightarrow \pi xy = 2k \pi \Rightarrow xy = 2k \Rightarrow xy[/tex] е цяло четно число или $xy = 0$[tex]\Rightarrow[/tex] поне един от множителите $x,y$ е също четно число или $0$.

[tex]\tg( \pi \alpha ) = 1 \Rightarrow \pi \alpha[/tex] се намира в 1-ви или 3-ти квадрант.
Стойностите [tex]\ \alpha[/tex] образуват безкрайна аритметична прогресия:
[tex]\div \frac{1}{4} , \frac{5}{4} , \frac{9}{4} ..........[/tex]
с общ член [tex]a_{n } = \frac{1 + 4(n-1)}{4}[/tex] ,като [tex]n \in Z[/tex]
Или [tex]\alpha = \frac{1 +4n -4}{4} = \frac{4n - 3}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow \alpha = \frac{4n - 3}{4}[/tex] където [tex]n \in N[/tex]

[tex]\log_{2 }[1 + 4 \sin^{2 }( \frac{ \pi \alpha }{4} - \frac{ \pi }{16}) - x^{2 } - y^{2 }] \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \log_{2 }[1 + 4 \sin^{2 } \pi ( \frac{ \alpha }{4} - \frac{1}{16}) - ( x^{2 } + y^{2 })] \le log_{2 } \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
$$0< 1 + 4 \sin^{2 } \pi ( \frac{ \alpha }{4} - \frac{1}{16}) - ( x^{2 } + y^{2 }) \le \sqrt{2 }$$
Замествам [tex]\alpha = \frac{4n -3}{4}[/tex] и получавам:
$$0<1+4 \sin^{2 }(n - 1) \frac{ \pi }{4} - ( x^{2 } + y^{2 }) \le \sqrt{2}$$
1) [tex]n - 1 = 0 \Rightarrow n = 1[/tex]
[tex]0 < [1 + 4 \sin^{2 }(n - 1) \frac{ \pi }{4} - ( x^{2 } + y^{2 } )] \le \sqrt{2} \Leftrightarrow 0<[1 + 4.0 - ( x^{2 }+ y^{2 }) \le \sqrt{2}[/tex]
[tex]0 < 1 - ( x^{2 } + y^{2 }) \le \sqrt{2} \Leftrightarrow -1< - ( x^{2 } + y^{2 }) \le \sqrt{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 0 < x^{2 } + y^{2 } < 1[/tex]
Като се има предвид,че $x$ и $y$ са цели числа това е невъзможно [tex]\Rightarrow[/tex] за $n= 1$ не можем да търсим решения

2)Нека $n - 1 $ е четно [tex]\Rightarrow n- 1 = 2k \Rightarrow n = 2k+1[/tex]
[tex]0 <[ 1 + 4 \sin^{2 }(n-1) \frac{ \pi }{4} -( x^{2 } + y^{2 })] \le \sqrt{x} \Leftrightarrow 0<[1+ 4 \sin^{2 } (2k+1-1) \frac{ \pi }{4} - ( x^{2 } + y^{2 })] \le \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]0 <[ 1 + 4 \sin^{2 }2k. \frac{ \pi }{4} - ( x^{2 } + y^{2 } )] \le \sqrt{2} \Leftrightarrow 0<[1 + 4.1 - ( x^{2 }+ y^{2 })] \le \sqrt{2}[/tex]
[tex]0 < [5 - ( x^{2 } + y^{2 })] \le \sqrt{2} \Leftrightarrow -5 < - ( x^{2 } + y^{2 }) \le \sqrt{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]0< x^{2 } + y^{2 } < 5 \Rightarrow[/tex] съществуват $4$ възможности : [tex]x^{2 } + y^{2 } = \begin{cases} 1\\2 \\ 3\\4 \end{cases}[/tex]

3) Нека $n - 1$ е нечетно [tex]\Rightarrow n - 1 = 2k + 1 \Rightarrow n = 2k + 2[/tex]
[tex]0 < [ 1 + 4.\sin^{2 }(n - 1) \frac{ \pi }{4} - ( x^{2 } + y^{2 })] \le \sqrt{2} \Leftrightarrow 0<[ 1 + 4 \sin^{2 }(2k + 1) \frac{ \pi }{4} - ( x^{2 } + y^{2 })] \le \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]0 < [ 1 + 4. \frac{1}{2} - ( x^{2 } + y^{2 } )] \le \sqrt{2} \Leftrightarrow 0 < [3 - ( x^{2 } + y^{2 })] \le \sqrt{2} \Leftrightarrow -3 <-( x^{2 }+ y^{2 }) \le \sqrt{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]0 < x^{2 } + y^{2 } < 3 \Rightarrow[/tex] съществуват $2$ възможности : [tex]x^{2 } +y ^{2 } = \begin{cases} 1 \\ 2 \end{cases}[/tex]
От [tex]\begin{cases} x^{2 } + y^{2 } < 5 \\ x^{2 } + y^{2 }< 3 \end{cases} \Leftrightarrow x^{2 } + y^{2 } < 3[/tex]
От разсъжденията по-горе знаем за $x$ и $y$ ,че трябва да бъдат цели числа и поне едно от тях да бъде $0$ или четно и [tex]x^{2 } + y^{2 } = 1[/tex] или $2$
Четирите двойки решения са [tex](0;1),(0; -1) , (1;0) , (-1;0)[/tex]

[tex]\alpha = \frac{4n - 3}{4}[/tex]
Решенията се получиха за $ n = 2k + 2 = 2(k + 1) $ [tex]\Rightarrow \alpha = \frac{4n -3}{4} = \frac{4.2(k + 1) - 3}{4} = \frac{8k + 5}{4} , k \in Z[/tex]