Система

[nikola.topalov]

Нека реалните числа [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са такива, че
[tex]\begin{array}{|l} a^3=3ab^2+11 \\ b^3=3a^2b+2 \end{array}[/tex]
Да се намери [tex]a^2+b^2[/tex].

[Евва]

Скрит текст: покажи

Моето решение е на 5 реда .

Получих отговор 5 .

[Nathi123]

[tex]\begin{array}{|l} a ^{3 } = 3ab ^{2 } +11|.2\\ b ^{3 } = 3a ^{2 } b+2|.11\end{array}[/tex]
Т.е умножаваме първото уравнение почленно по2,второто - по 11 и от получената еквив. на дадената система, изваждаме почленно от първото уравнение ,второто.
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2a ^{3 }+33a ^{2 } b-6ab ^{2 }-11b ^{3 }=0 \\ b ^{3 } = 3a ^{2 } b+2 \end{array}[/tex] (1) . а=0 и b=0 не се явяват решения на системата.Затова първото от уравненията на получената система може почленно да разделим на b[tex]^{3 }[/tex].
Получаваме 2([tex]\frac{a}{b}) ^{3 }+33( \frac{a}{b}) ^{2 }-6 \frac{a}{b}-11=0[/tex]. Нека [tex]\frac{a}{b}=x \Rightarrow 2 x^{3 } +33 x^{2 } -6x-11=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(x+\frac{1}{2})( x^{2 }+16x-11)=0 \Leftrightarrow x=- \frac{1}{2} \cup x=-8 \pm \sqrt{75}[/tex]. При [tex]\frac{a}{b}= - \frac{1}{2}[/tex],за решенията
а и b на системата (1) получаваме,че a[tex]^{2 }+b ^{2 } =5[/tex].Другите 2 стойности на х също ни дават решения на системата и пожелавам на по - упоритите да намерят колко е а[tex]^{2 }+b ^{2 }[/tex] за тях .

[peyo]

Изглежда имам много решения. Да ги намерим всичките!

In [79]: for res in solve([a**3-3*a*b**2-11, b**3-3*b*a**2-2]):
...: print("\$" + latex(simplify(res[a]**2 + res[b]**2)) + "$")
...:
$5$
$5$
$\frac{5}{4} \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{2}$
$- \frac{5}{2} + \frac{5 i}{2} \sqrt{3}$
$5$
$- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt{-3 - 4 i} - \sqrt{-9 - 12 i}$
$- \frac{5}{2} + \sqrt{-9 - 12 i} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt{-3 - 4 i}$
$- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt{-3 + 4 i} + \sqrt{-9 + 12 i}$
$- \frac{5}{2} - \sqrt{-9 + 12 i} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt{-3 + 4 i}$

Хм. Да видим колко са уникалните:

In [80]: for res in solve([a**3-3*a*b**2-11, b**3-3*b*a**2-2]):
...: print("\$" + latex(complex(res[a]**2 + res[b]**2)) + "$")
...:
$(5+0j)$
$(5+0j)$
$(-2.5-4.33012701892j)$
$(-2.5+4.33012701892j)$
$(5+0j)$
$(-2.5+4.33012701892j)$
$(-2.5-4.33012701892j)$
$(-2.5+4.33012701892j)$
$(-2.5-4.33012701892j)$

Оказха се 2.

[Евва]

[tex]\begin{array}{|l}( a^{3 }-3a b^{2 } )^{2 } = 121 \\ (b^{3 }-3 a^{2 }b) ^{2 } = 4 \end{array}[/tex]

[tex]a^{6 }[/tex]-6[tex]a^{4 } b^{2 }[/tex]+9[tex]a^{2 } b^{4}[/tex]+[tex]b^{6 }[/tex]-6[tex]a^{2 } b^{4 }[/tex]+9[tex]a^{4 } b^{2 }[/tex]=125

[tex]a^{6 }[/tex]+3[tex]a^{4 } b^{2 }[/tex]+3[tex]a^{2 } b^{4 }[/tex]+[tex]b^{6 }[/tex]=125

[tex]( a^{2 } + b^{2 }) ^{3 }[/tex]=[tex]5^{3 }[/tex]

[tex]a^{2 }+ b^{2 }[/tex]=5