Система от трета степен

[nelson88]

Здравейте, може ли някой да помогне за следната система:

x3=5x + 2y
y3=5y + 2x

Благодаря!

[nikola.topalov]

Събираме двете равенства почленно, откъдето получаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} x^3 + y^3 =(x+y)(x^2-xy+y^2)=7x+7y \\ x^3=5x+2y\end{array}[/tex]
Първото уравнение е еквивалентно на [tex](x+y)(x^2-xy+y^2-7)=0[/tex] (след изкарване на общия множител [tex]x+y[/tex]). Нека разгледаме първо случая, когато [tex]x=-y[/tex]. Имаме
[tex]\begin{array}{|l} x=-y \\ -y^3=-5y+2y=-3y\end{array}[/tex]
Уравнението [tex]y^3=3y[/tex] има корени [tex]y\in\{-\sqrt{3},0,\sqrt{3}\}[/tex], а оттук получаваме и първите три решения на системата [tex](x,y)=(\sqrt{3},-\sqrt{3})[/tex], [tex](x,y)=(-\sqrt{3},\sqrt{3})[/tex] и [tex](x,y)=(0,0)[/tex]. Да видим сега за [tex]x^2-xy+y^2=7[/tex] какво ще получим:
[tex]\begin{array}{|l} x^3=5x+2y\\ x^2-xy+y^2=7\end{array}[/tex]
Изразяваме [tex]y=\dfrac{1}{2}(x^3-5x)[/tex] и след заместване във второто уравнение и опростяване стигаме до уравнението [tex]x^6-12x^4+39x^2-28=0[/tex]. Нека за удобство положим [tex]t=x^2[/tex], откъдето [tex]t^3-12t^2+39t-28=0[/tex]. Сборът от коефициентите е равен на [tex]0[/tex] и значи [tex]t=1[/tex] е нула на полинома. Делим го на [tex]t-1[/tex] с помощта на схемата на Хорнер и получаваме [tex](t-1)(t^2-11t+28)=(t-1)(t-4)(t-7)=0[/tex]. Следователно [tex]x^2\in\{1,4,7\}[/tex] и [tex]x\in\{-\sqrt{7},-2,-1,1,2,\sqrt{7}\}[/tex]. Така намираме другите шест решения, а именно [tex](x,y)=(-\sqrt{7},-\sqrt{7})[/tex], [tex](x,y)=(-2,1)[/tex], [tex](x,y)=(-1,2)[/tex], [tex](x,y)=(1,-2)[/tex], [tex](x,y)=(2,-1)[/tex] и [tex](x,y)=(\sqrt{7},\sqrt{7})[/tex].

[Гост]

nikola.topalov Много благодаря!