Трудна система

[b1ck0]

Нека [tex]a_{1}, a_{2} ... a_{2005}[/tex] са реални числа, такива че:

[tex]a_{1}.1 + a_{2}.2 + a_{3}.3 + a_{4}.4 + ... + a_{2005}.2005 = 0 \\
a_{1}.1^2 + a_{2}.2^2 + a_{3}.3^2 + a_{4}.4^2 + ... + a_{2005}.2005^2 = 0 \\
a_{1}.1^3 + a_{2}.2^3 + a_{3}.3^3 + a_{4}.4^3 + ... + a_{2005}.2005^3 = 0 \\
. . . . ... . . \\
. . . . ... . . \\
. . . . ... . . \\
a_{1}.1^{2004} + a_{2}.2^{2004} + a_{3}.3^{2004} + a_{4}.4^{2004} + ... + a_{2005}.2005^{2004} = 0 \\
a_{1}.1^{2005} + a_{2}.2^{2005} + a_{3}.3^{2005} + a_{4}.4^{2005} + ... + a_{2005}.2005^{2005} = 1[/tex]

Намерете стойността на [tex]a_{1}[/tex]

[pipi langstrump]

По формулите на Крамер [tex]a_1 = \frac{\Delta_1 }{\Delta }[/tex]
[tex]\Delta =2005!W_{2005}[/tex]

[tex]\Delta_1[/tex] развиваме по първи стълб и правим същата процедура на изнасяне на множител от всеки стълб - [tex]\Delta_1 = (-1)^{(1+2005)}2004!W_{2004}[/tex] - грешка

Тогава [tex]a_1 =[/tex][tex]\frac{2004!W_{2004}}{2005!W_{2005}} = \frac{1}{ 2005}\frac{1}{(2005-2004)(2005-2003)...(2005-1)} = \frac{1}{2004!2005} = \frac{1}{2005!}[/tex]

С [tex]W_n[/tex] се означава детерминантата на Вандермонд.

[b1ck0]

[tex]\frac{1}{2005!}[/tex]

опитай пак ...
Видя че последното уравнение не е равно на 0, нали ?

[pipi langstrump]

Какво имаш предвид? С кое не си съгласен?

[b1ck0]

Отговора е друг ...

[pipi langstrump]

Лошо.

[pipi langstrump]

Да е случайно [tex]\frac{1}{ 2005!2004!} = \frac{1}{(2004!)^2 2005}[/tex]

[b1ck0]

И така не е ...

[pipi langstrump]

Последно предложение и край \frac{1}{2004!}

[b1ck0]

Така е ... сега ако обясниш какво си написал ... ( просто тази детерминантата на Вандермонд за пръв път я чувам )

[pipi langstrump]

Да поясня само къде ми беше грешката - втория път реших интуитивно да изнеса 2004!, вместо, както трябва 2005!. Всъщност множителят преd [tex]W_4[/tex] е [tex]\frac{2005!}{1!}[/tex]. Затова 2005! се съкращава и остава само [tex]\frac{1}{2004!}[/tex]

А за детерминантата на Вандермонд можеш да прочетеш тук, например - стр.12, т.6
В Уикипедия също има информация, но там детерминантата е транспонирана - да не те обърква това.