Решаване на системи

[Гост]

1) [tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + y^{2 } - 7y - 3 = 0 \\ (x-3) (y-2) = 0 \end{array}[/tex]

2) [tex]\begin{array}{|l} 9 x^{2 } - 6xy + y^{2 } = 0 \\ x^{2 } + y^{2 } - 2y = 4 \end{array}[/tex]

[S.B.]

1) [tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + y^{2 } - 7y - 3 = 0 \\ (x-3) (y-2) = 0 \end{array}[/tex]

Тъй като [tex](x - 3)(y -2) \Leftrightarrow x - 3 =0 \cup y - 2 = 0[/tex] ,то системата се разделя на две еквивалентни системи:

[tex]\begin{array}{|l} x= 3 \\ x^{2 } + y^{2 } - 7y - 3 = 0\end{array}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{array}{|l} y = 2 \\ x^{2 } + y^{2 } - 7y - 3 = 0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x = 3 \\ x^{2 } + y^{2 } - 7y -3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow 9 + y^{2 }- 7y - 3 = 0 \Leftrightarrow y^{2 } - 7y + 6 = 0 , y_{1 } = 1, y_{2 } = 6[/tex]
Отговорите са :$$(3;1) , (3;6)$$

[tex]\begin{array}{|l} y = 2 \\ x^{2 } + y^{2 } - 7y - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow x^{2 } + 4 -14 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^{2 } - 13 = 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13} ) \Rightarrow x_{1,2 } = \pm \sqrt{13}[/tex]
Отговорите са :$$( \sqrt{13}; 2) , (- \sqrt{13}; 2) $$

[Гост]

реши ги и после ми обясни геометричния смисъл на тия системи

[S.B.]

2) [tex]\begin{array}{|l} 9 x^{2 } - 6xy + y^{2 } = 0 \\ x^{2 } + y^{2 } - 2y = 4 \end{array}[/tex]

В тази система първото уравнение е хомогенно.Двойката $(0;0)$ очевидно от второто уравнение не е решение на системата.
Нека [tex]y \ne 0[/tex] и деля първото уравнение на [tex]y^{2 } \ne 0[/tex]
[tex]9 x^{2 } - 6xy + y^{2 } = 0 \Leftrightarrow 9 \frac{ x^{2 } }{ y^{2 } } - 6 \frac{x}{y} + 1 = 0 \Leftrightarrow 9 ( \frac{x}{y}) ^{2 } - 6 \frac{x}{y} + 1 = 0[/tex]
Нека [tex]\frac{x}{y} = t[/tex] след заместване получавам:
[tex]9t^{2 } - 6t + 1= 0 \Leftrightarrow (3t)^{2 } - 2.3t.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow (3t - 1)^{2 } = 0 \Leftrightarrow 3t - 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}[/tex]
[tex]\begin{cases} t= \displaystyle\frac{x}{y} \\ t = \displaystyle\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{x}{y} = \displaystyle\frac{1}{3} \Rightarrow y = 3x[/tex]
Сега получавам система еквивалентна на дадената система:

[tex]\begin{array}{|l} y = 3x \\ x^{2 } + y^{2 } - 2y = 4 \end{array}[/tex]
Тази системата се решава чрез заместване.
От тук нататък ще трябва да се справиш самостоятелно!Успех!