Задача от сборник по алгебра на Интеграл

[magi_066]

Две праволинейни шосета се пресичат в т. А. По тях към А се движат равномерно кола и велосипедист. В един начален момент колата, велосипедистът и т. А лежат във върхове на правоъгълен триъгълник. След като колата изминала 25км, триъгълникът станал равностранен. Да се намери разстоянието между колата и велосипедиста в „началния" момент, ако се знае, че в момента, когато колата е пристигнала в т. А, велосипедистът е бил на 12км от т. А.
Отг:20[tex]sqrt{3}[/tex].км

[martin123456]

бегло решение..
1) ако ъгъл А е прав, то след като колата и велосипеда се движат известно време, то новополученият триъгълник (ако съществувува) пак е правоъгълен. значи или при колата или при велисопеда е правият ъгъл.
2) нека е при колата. значи ъгълът при A e 60 щом после триъгълникът е равностранен. не може колата да е минала след А понеже тогава ъгълът ще е външен за началният триъгълник, който бе правоъгълкен и значи тъп. в този случай излиза че колата се движи по-бавно от велисопеда, защото велисопеда се движи по хипотенузата и изминава почече от колата (25) докато се образува равностранен триъгълник.
3) нека е при велосипеда. ъгъл А пак е 60. нека страната на получения равностранен триъгълник е x, а велосипедът е изминал y км до получаването му. от правоъгълен тр с ъгъл 30 имаме 25+x=2(y+x), 25=2y+x.
нека скоростта на колата е k, a на велосипеда е v. значи [tex]\frac{25}{k}=\frac{y}{v}[/tex] до образуването на равностранния триъгълник. колата е изминала 25+x за време [tex]\frac{25+x}{k}[/tex], което е равно на [tex]\frac{y+x-12}{v}[/tex]. след обрабтока на последните 2 уравнения стигаме до [tex]\frac{25}{y}=\frac{25+x}{y+x-12}[/tex]
получихме следните уравнения
[tex]x+2y=25[/tex]
[tex]\frac{25}{y}=\frac{25+x}{y+x-12}[/tex]<=>[tex]25x-25.12=xy[/tex]
=>[tex]x=15, y=5[/tex]
значи триъгълник със страни 40, 20 и трета - катет липсва, тя е [tex]\sqrt{40^2-20^2}=20\sqrt{2^2-1}=20\sqrt{3}[/tex]