Система

[Гост]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } - 4 y^{2 } = 9 \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array}[/tex]

[ammornil]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } - 4 y^{2 } = 9 \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array}[/tex]


Вижда се, че при [tex]x=0[/tex] системата няма решения, защото след заместване получаваме [tex]\begin{array}{|l} - 4 y^{2 } = 9 \\ 2 y^{2 } = 18 \end{array}[/tex] и първото уравнение няма решения (никое число на втора степен умножено по минус 4 не може да дава плюс девет). Понеже [tex]x \ne 0[/tex], можем да разделим всяко от уравненията на [tex]x^{2} \ne 0[/tex].

Първо да преобразуваме малко системата
[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } - 4 y^{2 } = 9\ |.2 \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2x^{2 } - 8 y^{2 } = 18 \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2x^{2 } - 8 y^{2 }-(xy + 2 y^{2 }) = 18-18 \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2x^{2 }-xy - 10 y^{2 }=0 \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x^{2 }-xy - 10 y^{2 }=0\ |:x^{2} \ne 0 \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2-\frac{y}{x} - 10 \left(\frac{y}{x}\right)^{2}=0 \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array}[/tex]

Да решим само първото уравнение отделно, като положим [tex]\frac{y}{x}=u \Rightarrow 2-u-10u^{2}= 0 \Leftrightarrow 10u^{2}+u-2=0[/tex]
[tex]D_{_{u}}=1^{2}-4.10.(-2)=1+80=81 \Rightarrow u_{_{1,2}}=\frac{-1\pm9}{2.10} \Rightarrow \begin{cases}u_{_{1}}=\frac{2}{5} \\ u_{_{2}}=-\frac{1}{2} \end{cases}[/tex]

Следователно изначалната система се преобразува в две нови системи:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{y}{x}=\frac{2}{5} \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array} \cup \begin{array}{|l} \frac{y}{x}=-\frac{1}{2} \\ xy + 2 y^{2 } = 18 \end{array} \Rightarrow
\begin{array}{|l} x=\frac{5y}{2} \\ \frac{5y}{2}.y + 2 y^{2 } = 18 \end{array} \cup \begin{array}{|l}x=-2y \\ -2y.y + 2 y^{2 } = 18 \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} x=\frac{5y}{2} \\ 5^{2 } +4 y^{2 } =36 \end{array} \cup \begin{array}{|l}x=-2y \\ 0y^{2} = 18 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x=\frac{5y}{2} \\9 y^{2 } =36 \end{array} \cup \begin{array}{|l}x=-2y \\ y \in \oslash \end{array}[/tex]

Втората система няма решения. Първата има две решения за [tex]y[/tex], откъдето получаваме
[tex]\begin{array}{|l} x=\frac{5y}{2} \\y=-2 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x=\frac{5y}{2} \\y=2 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_{_{1}}=-5 \\y_{_{1}}=-2 \end{array} \cup \begin{array}{|l} x_{_{2}}=5 \\y_{_{2}}=2 \end{array}[/tex]