Решете системата

[Гост567]

Моля ви помогнете!
Много ми е трудно да реша задачата!

[ammornil]

Ако [tex]y=0[/tex] системата няма решения защото получаваме [tex]\begin{array}{|l} -4x^{2}=2 \\ 5x^{2}=-1\end{array}[/tex] и никое уравнение няма решения. Следователно [tex]y\ne0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} y^{2}-xy-4x^{2}=2 \\ 5x^{2}+xy-y^{2}=-1 |.2\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}-4x^{2}-xy+ y^{2}=2 \\ 10x^{2}+2xy-2y^{2}=-2 \end{array}[/tex]

Ако съберем дветеуравнения получаваме: [tex]6x^{2}+xy-y^{2}=0[/tex]

[tex]6x^{2}+xy-y^{2}=0 |:y^{2} \ne 0 \Rightarrow 6\left( \frac{x}{y} \right)^{2} +\frac{x}{y}-1=0[/tex]

Полагаме [tex]\frac{x}{y}=u[/tex] и получаваме [tex]6u^{2}+u-1=0 \rightarrow D=1^{2}-4.6.(-1)=1+24=25 \Rightarrow u_{_{1,2}}=\frac{-1\pm5}{2.6} \rightarrow \begin{cases} u_{_{1}}=-\frac{1}{2} \\ u_{_{2}}=\frac{1}{3} \end{cases}[/tex]

Въщаме се в оригналната система. Понеже полагането доведе до две решения, то ще получим две нови системи:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{x}{y}=-\frac{1}{2} \\ y^{2}-xy-4x^{2}=2 \end{array}\ \cup \ \begin{array}{|l} \frac{x}{y}=\frac{1}{3} \\ y^{2}-xy-4x^{2}=2 \end{array} \Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x=-\frac{y}{2} \\ y^{2}-xy-4x^{2}=2 \end{array}\ \cup \ \begin{array}{|l} x=\frac{y}{3} \\ y^{2}-xy-4x^{2}=2 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x=-\frac{y}{2} \\ y^{2}+\frac{y^{2}}{2}-4\frac{y^{2}}{4}=2 \end{array}\ \cup \ \begin{array}{|l} x=\frac{y}{3} \\ y^{2}-\frac{y^{2}}{3}-4\frac{y^{2}}{9}=2 \end{array} \Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} x=-\frac{y}{2} \\ \frac{y^{2}}{2}=2 \end{array}\ \cup \ \begin{array}{|l} x=\frac{y}{3} \\ 9y^{2}-3y^{2}-4y^{2}=18 \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x=-\frac{y}{2} \\ y^{2}=4 \end{array}\ \cup \ \begin{array}{|l} x=\frac{y}{3} \\ y^{2}=9 \end{array}[/tex]

Понеже всяка от системите дава по две решения за [tex]y[/tex] ще имаме четири решения на задачата.
[tex]\begin{array}{|l} x=1 \\ y=-2 \end{array}\ \cup \ \begin{array}{|l} x=-1 \\ y=2 \end{array}\ \cup \ \begin{array}{|l} x=-1 \\ y=-3 \end{array} \cup \ \begin{array}{|l} x=1 \\ y=3 \end{array}[/tex]

[Гост]

Решението на ammornil е вярно и хубаво (в смисъла на това, че се демонстрира свеждане до хомогенно уравнение и начина му на решаване), но ненужно усложнено. Просто събираш двете уравнения, след което всички събираеми, съдържащи y, се елиминират, и се достига до [tex]x^{2 } = 1 \Rightarrow x_{1,2 } = \pm 1[/tex]. Като се заместят тези стойности в кое да е от двете уравнения, се получава квадратни уравнения спрямо y.