Системи уравнения от втора степен с две неизвестни

[Malkata@]

Домашна работа. Благодаря ви предварително!

84CAFF6C-27CB-4B66-BF8E-829BDFEC0547.jpeg (483.81 KiB) Прегледано 1750 пъти

[Davids]

10. Първото уравнение е хомогенно, ще го решаваме стандартно. За целта първо отбелязваме, че при $y = 0$ системата няма решение. Нека сега $y\ne 0$ и делим двете страни на $y^2$. Полагаме $t := \frac{x}{y}$ и получаваме квадратното уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решения са $t = 1 \Rightarrow x = y$ и $t = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2x$. Остана да заместим във второто.

В първия случай получаваме:
$2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} = y$

Във втория случай получаваме:
$-3x^2 + 2x + 1 = 0$
$3x^2 - 2x - 1 = 0$
$x \in \{1, -\frac{1}{3}\}$

И така всички решения на системата са:
$(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (1, 2), (-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$

[Davids]

Втората система е по-лесна. Изразяваме от първото уравнение $y^2 = 29 - x^2$, заместваме във второто и получаваме:
$29-x^2 - x - 23 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$

Имаме две решения:
$x = 2 \Rightarrow y = \pm 5$
$x = -3 \Rightarrow y = \pm2\sqrt{5}$

Четирите двойки решения излязоха.