Система

[Гост]

Намерете числото а, за което системата [tex]\begin{array}{|l} (a-3)x = 1-y \\ 9x +(a-3)y = 3 \end{array}[/tex] има безброй решения

[S.B.]

Намерете числото а, за което системата [tex]\begin{array}{|l} (a-3)x = 1-y \\ 9x +(a-3)y = 3 \end{array}[/tex] има безброй решения

[tex]\begin{array}{|l} (a - 3)x = 1 - y \\ 9x +(a - 3) y = 3 \end{array}[/tex]

1) Нека [tex]a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 0.x = 1 - y \\ 9x = 3 \end{array} \Rightarrow x = \displaystyle \frac{1}{3}, y = 1[/tex]
За $a = 3$ съществува точно едно решение :[tex]x = \frac{1}{3} , y = 1[/tex]

2) Нека [tex]a - 3 \ne 0 \Rightarrow a \ne 3[/tex] (т. е. вече можем да делим на $(a - 3)$)

[tex]\begin{array}{|l} y = 1 - (a - 3)x \\ y = \displaystyle\frac{3 - 9x}{a - 3} \end{array} \Rightarrow 1 - (a - 3)x = \displaystyle \frac{3 - 9x}{a - 3}[/tex]
[tex]1 - (a - 3)x = \frac{3 - 9x}{a - 3} \Leftrightarrow (a - 3) - (a - 3)^{2 }x = 3- 9x \Leftrightarrow 9x - (a - 3)^{2 }x = 3 - (a - 3) \Leftrightarrow[/tex]
[tex][9 - (a - 3)^{2 } ]x = 6 - a \Leftrightarrow (3 - a + 3)(3 + a - 3)x = 6 - a \Leftrightarrow (6 - a).a .x = (6 - a)[/tex]
За [tex]a = 0 \rightarrow 0 x = 6 \Rightarrow[/tex] няма решение
За [tex]а = 6 \rightarrow 0.x = 0 \Rightarrow \forall x[/tex] е решение
[tex]\begin{array}{|l} 3x = 1 - y\\ 9x + 3y = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 3x = 1 - y \\ 3x = 1 - y \end{array} \Rightarrow y = 1 - 3x[/tex]

Отговор:
За $a = 3$ има точно една двойка решения [tex]( \frac{1}{3}; 1)[/tex]
За $a = 0$ няма решения
За $a = 6$ има безброй решения във вида :[tex](\forall x ; y = 1 - 3x)[/tex]